- Uma onda estacionária, em uma corda tensionada e fixa nas extremidades, tem comprimento
. A aceleração transversal máxima de um ponto no meio da corda é de
e a velocidade transversal máxima é de
. Se a corda está vibrando em seu modo fundamental, determine a velocidade da onda para as ondas progressivas transversais na corda.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a velocidade da onda para as ondas progressivas transversais na corda, dado que a corda está vibrando em seu modo fundamental.\n
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
O enunciado afirma que a corda está no modo fundamental (uma única metade de onda ao longo da corda).
Passo 2
Entendendo o movimento de um ponto da corda: cada ponto que vibra faz um Movimento Harmônico Simples (MHS) no tempo. Se a posição transversal de um ponto é dada por
então a velocidade e a aceleração temporais são obtidas por derivação temporal:
Dessas expressões seguem os máximos:
Explicação didática:
é a amplitude (valor máximo do deslocamento transversal),
é a frequência angular (em rad/s). A velocidade máxima ocorre quando o seno é zero e o cosseno é
; a aceleração máxima ocorre quando o seno é
.
Passo 3
Isolando
a partir das expressões de máximos: dividindo
por
cancela
e deixa
:
Agora substituímos os valores dados (tudo em TeX):
Calculemos: primeiro
e
, logo
Passo 4
Da frequência angular obtemos a frequência temporal
(em Hz) por
Substituindo
:
Comentário didático:
é o número de oscilações por segundo; aqui ficou um valor grande, mas é consistente com os máximos fornecidos.
Passo 5
Agora precisamos da relação entre comprimento da corda e comprimento de onda
no modo fundamental. Para uma corda fixa em ambas as extremidades o modo fundamental tem exatamente meia onda ao longo da corda, portanto
Como
, temos
Breve explicação: a distância entre dois nós consecutivos é
; com nós em ambas as extremidades e só um segmento entre eles,
, então
.
Passo 6
A velocidade da onda progressiva
relaciona-se com frequência e comprimento de onda por
Substituindo
e
:
Verificação alternativa (mesma conta, outra forma): usando
com
e
dá o mesmo resultado.