1. Uma onda estacionária, em uma corda tensionada e fixa nas extremidades, tem comprimento 5,0 \mathrm{~m}. A aceleração transversal máxima de um ponto no meio da corda é de 5000 \pi^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a velocidade transversal máxima é de 5,0 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se a corda está vibrando em seu modo fundamental, determine a velocidade da onda para as ondas progressivas transversais na corda.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a velocidade da onda para as ondas progressivas transversais na corda, dado que a corda está vibrando em seu modo fundamental.\n
Dados fornecidos:
\text{comprimento da corda } L = 5{,}0\\ \mathrm{m}
\text{aceleração transversal máxima no meio da corda } a_{\max} = 5000\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}çãá
\text{velocidade transversal máxima no meio da corda } v_{\max} = 5{,}0\pi\\ \mathrm{m/s}á
O enunciado afirma que a corda está no modo fundamental (uma única metade de onda ao longo da corda).

Passo 2

Entendendo o movimento de um ponto da corda: cada ponto que vibra faz um Movimento Harmônico Simples (MHS) no tempo. Se a posição transversal de um ponto é dada por
y(t)=A\sin(\omega t+\varphi),
então a velocidade e a aceleração temporais são obtidas por derivação temporal:
v(t)=\frac{dy}{dt}=A\omega\cos(\omega t+\varphi),
a(t)=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-A\omega^{2}\sin(\omega t+\varphi).
Dessas expressões seguem os máximos:
v_{\max}=A\omega,
a_{\max}=A\omega^{2}.
Explicação didática: A é a amplitude (valor máximo do deslocamento transversal), \omega é a frequência angular (em rad/s). A velocidade máxima ocorre quando o seno é zero e o cosseno é \pm1; a aceleração máxima ocorre quando o seno é \pm1.

Passo 3

Isolando \omega a partir das expressões de máximos: dividindo a_{\max} por v_{\max} cancela A e deixa \omega:
\omega=\frac{a_{\max}}{v_{\max}}.
Agora substituímos os valores dados (tudo em TeX):
\omega=\frac{5000\pi^{2}}{5{,}0\pi}.
Calculemos: primeiro 5000/5{,}0=1000 e \pi^{2}/\pi=\pi, logo
\omega = 1000\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Da frequência angular obtemos a frequência temporal f (em Hz) por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega=1000\pi:
f=\frac{1000\pi}{2\pi}=500\\ \mathrm{Hz}.
Comentário didático: f é o número de oscilações por segundo; aqui ficou um valor grande, mas é consistente com os máximos fornecidos.

Passo 5

Agora precisamos da relação entre comprimento da corda e comprimento de onda \lambda no modo fundamental. Para uma corda fixa em ambas as extremidades o modo fundamental tem exatamente meia onda ao longo da corda, portanto
\lambda = 2L.
Como L=5{,}0\\ \mathrm{m}, temos
\lambda = 2\times 5{,}0 = 10{,}0\\ \mathrm{m}.
Breve explicação: a distância entre dois nós consecutivos é \lambda/2; com nós em ambas as extremidades e só um segmento entre eles, \lambda/2=L, então \lambda=2L.

Passo 6

A velocidade da onda progressiva v relaciona-se com frequência e comprimento de onda por
v=f\lambda.
Substituindo f=500\\ \mathrm{Hz} e \lambda=10{,}0\\ \mathrm{m}:
v=500\times 10{,}0 = 5000\\ \mathrm{m/s}.
Verificação alternativa (mesma conta, outra forma): usando v=\dfrac{\omega\lambda}{2\pi} com \omega=1000\pi e \lambda=10 dá o mesmo resultado.

Resposta

5000\\ \mathrm{m/s}

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