Uma gota esférica de água de 80,0 \mu m de diâmetro tem uma carga distribuída uniformemente de +40,0 p C. (a) Calcule o campo elétrico dentro e fora da gota, em função da distância ao centro r. Considerando V=0 no infinito ( r=\infty ), calcule o potencial elétrico na superfície da gota e c) no seu centro.

Passo 1

O enunciado dá uma gota esférica com carga distribuída uniformemente e pede o campo elétrico e o potencial. Informações e pedidos explícitos:
  • Dados fornecidos: \text{diâmetro} = 80{,}0\,\mu\mathrm{m}â
\Rightarrow R=\frac{80{,}0\,\mu\mathrm{m}}{2}=40{,}0\,\mu\mathrm{m} = 4,00\times10^{-5}\,\mathrm{m}
Q = +40{,}0\,\mathrm{pC} = 4{,}00\times10^{-11}\,\mathrm{C}.
Considerar V(\infty)=0.
  • O que o enunciado pede:
    (a) O campo elétrico dentro ( r\le R) e fora ( r\ge R) da gota, em função de r.
    (b) O potencial elétrico na superfície da gota (ou seja, em r=R), tomando V(\infty)=0.
    (c) O potencial elétrico no centro da gota (ou seja, em r=0).
Observação: a carga é distribuída uniformemente no volume da esfera (densidade volumétrica uniforme). A resolução detalhada começa no próximo passo.

Passo 2

Entendendo e aplicando a lei de Gauss (a ferramenta que usamos aqui).
  • A lei de Gauss (forma integral) diz que para qualquer superfície fechada:
    \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
    onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}). Explico cada símbolo:
    • \mathbf{E} é o campo elétrico.
    • d\mathbf{A} é um elemento de área orientado pela normal externa.
    • A integral de superfície é sobre a superfície fechada considerada.
  • Para uma esfera com distribuição de carga esfericamente simétrica, o campo elétrico \mathbf{E} tem simetria radial: \mathbf{E}=E(r)\,\hat r. Então, escolhendo como superfície gaussiana uma esfera de raio r concêntrica com a gota, temos
    \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\cdot 4\pi r^2.
    Assim:
    E(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}.
    A diferença entre “dentro” e “fora” vem de Q_{\text{int}}(r): se r\ge R, Q_{\text{int}}(r)=Q (toda a carga está dentro); se r\le R, Q_{\text{int}}(r) é a carga contida no raio r, proporcional ao volume até r.

Passo 3

Campo elétrico fora da gota ( r\ge R).
  • Para r\ge R toda a carga Q está dentro da superfície gaussiana, logo Q_{\text{int}}(r)=Q. Substituindo na lei de Gauss: E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}.Isolando E(r): E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.Definindo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} (constante eletrostática, k\approx8{,}98755179\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}), podemos escrever de forma habitual: \boxed{E(r)=k\,\frac{Q}{r^2}\quad\text{para } r\ge R, \text{ direção radial para fora}}.çãComentário físico rápido: para pontos externos a uma esfera com carga esfericamente simétrica, o campo é idêntico ao de uma carga pontual Q no centro.

Passo 4

Campo elétrico dentro da gota ( r\le R).
  • A carga está distribuída uniformemente no volume, então a densidade volumétrica \rho é \rho=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}.A carga contida em uma esfera de raio r\le R é Q_{\text{int}}(r)=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q\cdot\frac{r^3}{R^3}.
  • Aplicando Gauss: E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\frac{r^3}{R^3}.Isolando E(r): E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q r}{R^3} = k\,\frac{Q}{R^3}\,r.Outra forma útil, usando \rho, é E(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,r \quad\text{(pois }\rho=\frac{3Q}{4\pi R^3}\text{)}.Portanto: \boxed{E(r)=k\,\frac{Q}{R^3}\,r\quad\text{para } r\le R, \text{ direção radial para fora}}.çãObservação prática: o campo interno cresce linearmente com r, partindo de zero no centro até um valor máximo na superfície.

Passo 5

Cálculo do potencial elétrico. relação entre campo e potencial.
  • Definição adotada: V(\infty)=0. O potencial em um ponto r é
    V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}.
    Como \mathbf{E} é radial e depende apenas de r, isso vira integral unidimensional radial: V(r)=-\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr'.
  • Primeiro, para r\ge R (fora), usamos E(r')=kQ/{r'}^{2}. Então
    V(r) = -\int_{\infty}^{r} k\frac{Q}{{r'}^{2}}\,dr' = -\left[-k\frac{Q}{r'}\right]_{\infty}^{r} = k\frac{Q}{r}.
    Em particular, o potencial na superfície ( r=R) é
    \boxed{V(R)=k\frac{Q}{R}}.
  • Agora, para r\le R (pontos internos), é mais fácil usar a decomposição:
    V(r) = V(R) - \int_{r}^{R} E(r')\,dr',
    porque V(R) já foi obtido. Usamos E(r')=k\frac{Q}{R^3}r' para r'\le R. Assim
    \int_{r}^{R} E(r')\,dr' = \int_{r}^{R} k\frac{Q}{R^3} r'\,dr' = k\frac{Q}{R^3}\cdot\frac{1}{2}\left(R^2 - r^2\right).
    Portanto
    V(r) = k\frac{Q}{R} - k\frac{Q}{2R^3}\left(R^2 - r^2\right).
    Simplificando:
    V(r) = k\frac{Q}{2R}\left(1 + \frac{r^2}{R^2}\right).
    Em particular, no centro ( r=0):
    \boxed{V(0)=k\frac{Q}{2R}}.
    Observação: o potencial no centro é metade do potencial na superfície (para uma esfera de carga volumétrica uniforme).

Passo 6

Agora vamos calcular os valores numéricos usando os dados.
  • Primeiro reunimos os dados em notação numérica (usando vírgula como separador decimal): R=4{,}00\times10^{-5}\,\mathrm{m},\quad Q=4{,}00\times10^{-11}\,\mathrm{C},
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}98755179\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^2/C^2}.
  • Potencial na superfície: V(R)=k\frac{Q}{R} \approx (8{,}98755179\times10^{9})\frac{4{,}00\times10^{-11}}{4{,}00\times10^{-5}}.Calculemos passo a passo: kQ \approx 8{,}98755179\times10^{9}\times 4{,}00\times10^{-11} = 0{,}3595020716,
V(R)=\frac{0{,}3595020716}{4{,}00\times10^{-5}} \approx 8{,}987{,}6\times10^{3}\,\mathrm{V}.
Arredondando razoavelmente (dados com 3–4 algarismos significativos), podemos escrever
V(R)\approx 8{,}99\times10^{3}\,\mathrm{V} \quad(\text{aprox. }8{,}99\\ \mathrm{kV}).
  • Potencial no centro:
    V(0)=\frac{1}{2}V(R)\approx \frac{1}{2}\times8{,}987{,}6\times10^{3}\,\mathrm{V}\approx 4{,}4938\times10^{3}\,\mathrm{V}.
    Arredondando:
    V(0)\approx 4{,}49\times10^{3}\,\mathrm{V}\quad(\text{aprox. }4{,}49\\ \mathrm{kV}).
  • (Complemento numérico útil) Campo elétrico na superfície r=R:
    E(R)=k\frac{Q}{R^2} = \frac{V(R)}{R}\approx \frac{8{,}9876\times10^{3}}{4{,}00\times10^{-5}}\approx 2{,}25\times10^{8}\,\mathrm{N/C}.
    E, para referência, o campo interno varia linearmente entre E(0)=0 e E(R) conforme a expressão dada no Passo 4.

Resposta

E(r)=k\,\dfrac{Q}{r^{2}} (radial para fora) para \;r\ge R.\n
E(r)=k\,\dfrac{Q}{R^{3}}\,r (radial para fora) para \;r\le R.\n
V(R)=k\,\dfrac{Q}{R}\approx 8{,}99\times10^{3}\,\mathrm{V}.\n
V(0)=k\,\dfrac{Q}{2R}\approx 4{,}49\times10^{3}\,\mathrm{V}.

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