Uma gota esférica de água de
de diâmetro tem uma carga distribuída uniformemente de
. (a) Calcule o campo elétrico dentro e fora da gota, em função da distância ao centro
. Considerando
no infinito (
), calcule o potencial elétrico na superfície da gota e c) no seu centro.
Passo 1
O enunciado dá uma gota esférica com carga distribuída uniformemente e pede o campo elétrico e o potencial. Informações e pedidos explícitos:
- Dados fornecidos:
Considerar
.
- O que o enunciado pede:
(a) O campo elétrico dentro () e fora ( ) da gota, em função de .
(b) O potencial elétrico na superfície da gota (ou seja, em), tomando .
(c) O potencial elétrico no centro da gota (ou seja, em).
Observação: a carga é distribuída uniformemente no volume da esfera (densidade volumétrica uniforme). A resolução detalhada começa no próximo passo.
Passo 2
Entendendo e aplicando a lei de Gauss (a ferramenta que usamos aqui).
-
A lei de Gauss (forma integral) diz que para qualquer superfície fechada:onde
é a carga total contida dentro da superfície e é a permissividade do vácuo ( ). Explico cada símbolo: -
é o campo elétrico. -
é um elemento de área orientado pela normal externa. - A integral de superfície é sobre a superfície fechada considerada.
-
-
Para uma esfera com distribuição de carga esfericamente simétrica, o campo elétrico
tem simetria radial: . Então, escolhendo como superfície gaussiana uma esfera de raio concêntrica com a gota, temos Assim:A diferença entre “dentro” e “fora” vem de: se , (toda a carga está dentro); se , é a carga contida no raio , proporcional ao volume até .
Passo 3
Campo elétrico fora da gota (
).
- Para
toda a carga está dentro da superfície gaussiana, logo . Substituindo na lei de Gauss: Isolando : Definindo (constante eletrostática, ), podemos escrever de forma habitual: Comentário físico rápido: para pontos externos a uma esfera com carga esfericamente simétrica, o campo é idêntico ao de uma carga pontual no centro.
Passo 4
Campo elétrico dentro da gota (
).
- A carga está distribuída uniformemente no volume, então a densidade volumétrica
é A carga contida em uma esfera de raio é - Aplicando Gauss:
Isolando : Outra forma útil, usando , é Portanto: Observação prática: o campo interno cresce linearmente com , partindo de zero no centro até um valor máximo na superfície.
Passo 5
Cálculo do potencial elétrico. relação entre campo e potencial.
-
Definição adotada:
. O potencial em um ponto é Comoé radial e depende apenas de , isso vira integral unidimensional radial: . -
Primeiro, para
(fora), usamos . Então Em particular, o potencial na superfície () é -
Agora, para
(pontos internos), é mais fácil usar a decomposição: porquejá foi obtido. Usamos para . Assim PortantoSimplificando:Em particular, no centro (): Observação: o potencial no centro é metade do potencial na superfície (para uma esfera de carga volumétrica uniforme).
Passo 6
Agora vamos calcular os valores numéricos usando os dados.
- Primeiro reunimos os dados em notação numérica (usando vírgula como separador decimal):
- Potencial na superfície:
Calculemos passo a passo:
Arredondando razoavelmente (dados com 3–4 algarismos significativos), podemos escrever
-
Potencial no centro:Arredondando:
-
(Complemento numérico útil) Campo elétrico na superfície
: E, para referência, o campo interno varia linearmente entree conforme a expressão dada no Passo 4.