Q1- Números Complexos:
Calcule (1-i)^10.

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1 - i)^10. Esse tipo de problema usa a forma polar de um número complexo e o Teorema de De Moivre, que permite elevar facilmente à potência.

Passo 2

Vamos escrever 1 - i em forma polar. O módulo é
r = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2,
e o argumento theta satisfaz tantheta = -1 com theta = -tfracpi4. Logo
1 - i = raiz2,e^-ipi/4

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre,
(r,e^itheta)^n = r^n ,e^i ntheta
Aplicando em (1 - i)^10, temos
(1 - i)^10 = (raiz2)^10,e^-i,(10pi/4)

Passo 4

Calculemos cada parte separadamente:
(raiz2)^10 = 2^5 = 32,
-,10pi4 = -5pi2 = -2pi - pi2,
e, como e^-i2pi=1, reduzimos o argumento para -pi/2. Portanto
(1 - i)^10 = 32,e^-ipi/2

Passo 5

Convertendo de volta para a forma a+bi via e^iphi=cosphi+isinphi:
e^-ipi/2 = cosl(-tfracpi2r) + isinl(-tfracpi2r) = 0 - i = -i
Logo
(1 - i)^10 = 32cdot(-i) = -32,i

Resposta

(1 - i)^10 = -32,i

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