Q1 (2,0 pontos) - Qual reator contínuo PFR sem alimentações laterais ou CSTR você escolheria para maximizar a seletividade em relação ao produto desejado (D) quando ocorrem as duas reações paralelas abaixo? Justifique a sua resposta:
\begin{array}{lll} \text { Reação desejada } & A+B \rightarrow D+C & r_{D}=r_{C}=k_{1} C_{A}^{2,5} C_{B}^{0,5} \\\ \text { Reação indesejada } & A+B \rightarrow I+E & r_{1}=r_{E}=k_{2} C_{A} C_{B}^{2,5} \end{array}çãçã

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha entre um reator contínuo PFR (plug flow reactor) sem alimentações laterais e um CSTR (reactor completamente agitado em regime permanente) para maximizar a seletividade em relação ao produto desejado D, sendo dadas duas reações paralelas:
\begin{array}{lll} \text{Reação desejada:} & A+B \rightarrow D+C & r_{D}=r_{C}=k_{1} C_{A}^{2{,}5} C_{B}^{0{,}5} \\[4pt] \text{Reação indesejada:} & A+B \rightarrow I+E & r_{I}=r_{E}=k_{2} C_{A}^{1} C_{B}^{2{,}5} \end{array}çãçã
As perguntas implícitas que preciso responder são:
  • Qual reator (PFR ou CSTR) maximiza a seletividade para D?
  • Justificar a escolha matematicamente e fisicamente (sem supor conhecimento prévio).
Informações relevantes do enunciado:
  • Não há alimentações laterais.
  • São duas reações paralelas consumindo os mesmos reagentes A e B.
  • As leis de velocidade (ordens parciais) estão explicitadas para cada reação.]

Passo 2

Definir claramente o que é seletividade instantânea e como ela se calcula.
  • A seletividade instantânea entre D e I (razão das velocidades) é
S \equiv \frac{r_{D}}{r_{I}}.
  • Substituindo as leis de velocidade dadas:
S = \frac{k_{1} C_{A}^{2{,}5} C_{B}^{0{,}5}}{k_{2} C_{A}^{1} C_{B}^{2{,}5}} = \frac{k_{1}}{k_{2}}\, C_{A}^{2{,}5-1}\, C_{B}^{0{,}5-2{,}5}.
  • Simplificando os expoentes:
S = \frac{k_{1}}{k_{2}}\, C_{A}^{1{,}5}\, C_{B}^{-2}.
Explicando em palavras: a razão de formação do produto desejado D em relação ao indesejado I cresce com C_{A}^{1{,}5} e decresce com C_{B}^{2}. Ou seja, para aumentar a seletividade instantânea, queremos aumentar C_{A} e/ou diminuir C_{B}.

Passo 3

Entender como PFR e CSTR afetam C_A e C_B no reator (comportamento típico, sem alimentações laterais).
  • PFR: o fluido entra com concentrações de alimentação C_{A0},C_{B0} no ponto de entrada; ao longo do comprimento do reator C_A e C_B decaem de forma contínua até os valores de saída. Localmente, perto da entrada as concentrações estão próximas de C_{A0},C_{B0} (alta C_A se alimentado em excesso), e perto da saída são menores.
  • CSTR: o reator é perfeitamente misturado; a concentração no reator é uniforme e igual à concentração de saída. Para uma dada conversão desejada, o CSTR opera com uma concentração única (normalmente mais baixa que C_{A0} e C_{B0}), pois a reação já consumiu reagentes em todo o volume.
Resumo prático: PFR apresenta uma variação espacial de concentrações (do inlet ao outlet); CSTR tem uma única concentração representativa (a de saída).

Passo 4

Relacionar o comportamento da seletividade S com os perfis de concentração e deduzir a estratégia.
Temos S=\dfrac{k_1}{k_2} C_A^{1{,}5} C_B^{-2}. Para escolher o reator precisamos saber se o produto desejado é favorecido em regiões de alta concentração ou de baixa concentração dos reagentes.
  • Se S aumenta quando nos aproximamos do inlet (ou seja, com concentrações maiores de A e/ou menores de B), então queremos um reator que “explore” as altas concentrações iniciais: PFR tende a aproveitar bem as condições próximas ao inlet (alta C_A se alimentado em excesso).
  • Se S aumenta nas regiões de maior conversão (isto é, com concentrações menores de A e/ou B), um CSTR operando com a concentração “final” pode dar uma seletividade maior porque todo o reator trabalha nas condições de maior seletividade.
Logo, a escolha depende de como C_A e C_B evoluem no reator e, em particular, da razão inicial entre C_{A0} e C_{B0} (ou seja, da estequiometria/razão de alimentação). Vou analisar dois casos simples e relevantes para a prova: alimentação estequiométrica (equimolar) e alimentação com excesso de um reagente.

Passo 5

Caso 1 — alimentação equimolar: C_{A0}=C_{B0}=C_0.
  • Com estequiometria 1:1 e definindo conversão de A por X, temos C_A = C_0(1-X) e C_B = C_0(1-X).
  • Substituindo em S:
S = \frac{k_1}{k_2} \bigl[C_0(1-X)\bigr]^{1{,}5} \bigl[C_0(1-X)\bigr]^{-2} = \frac{k_1}{k_2} C_0^{-0{,}5} (1-X)^{-0{,}5}.
  • Observação sobre dependência com X: o expoente de (1-X) é negativo ( -0{,}5), então quando X aumenta (maior conversão, menores concentrações residuais) o fator (1-X)^{-0{,}5} aumenta. Ou seja, a seletividade instantânea S aumenta com a conversão.
  • Consequência prática: S é menor no inlet e maior no outlet. Num PFR a média ponderada de S ao longo do comprimento será menor que o valor no outlet. Num CSTR, todo o reator opera na condição equivalente ao outlet do PFR (se compararmos para a mesma conversão final), logo o CSTR apresenta a seletividade instantânea máxima (aquela do ponto final) em todo o volume.
  • Conclusão para este caso: para alimentação equimolar (ou quando A e B se depletam proporcionalmente), a reação desejada é favorecida em condições de maior conversão (concentrações menores), logo um CSTR dá maior seletividade global do que um PFR projetado para a mesma conversão. Em termos intuitivos: aqui o produto desejado “gosta” de condições de baixa concentração residual, e o CSTR mantém o reator inteiro nessas condições.

Passo 6

Caso 2 — alimentação com excesso de A (isto é, C_{A0}\gg C_{B0} ou, mais prático, B em pequena concentração relativa).
  • Se A está em grande excesso, durante grande parte do reator C_B é pequeno e varia bastante, enquanto C_A permanece aproximadamente constante e próximo de C_{A0}. Assim, podemos aproximar C_A\approx C_{A0} (constante) e C_B decresce com a reação.
  • Sob essa aproximação:
S \approx \frac{k_1}{k_2} C_{A0}^{1{,}5} C_B^{-2}.
  • Essa expressão mostra que S cresce quando C_B diminui. Onde C_B é menor? Na região mais adiantada do reator (maior conversão). Porém note que com A em excesso, a dependência positiva com C_A^{1{,}5} dá vantagem ao trabalhar com altas C_A (ou seja, manter A alto é bom). PFR, começando com C_A alto e C_B maior no inlet, permite que no início o termo C_A^{1{,}5} esteja máximo; além disso, se a estratégia é alimentar com A em excesso (baixo C_B relativo), o PFR mantém regiões iniciais com C_A alto e C_B ainda não muito depletado — isso tende a favorecer a reação que tem maior ordem em A.
  • Mais simples: suponha que B seja limitante e A esteja em excesso; então a taxa desejada tem ordem maior em A (2{,}5 vs 1), portanto a reação desejada é mais sensível a C_A alto — isso favorece operar em regime onde C_A permanece alto em uma fração significativa do reator: cenário tipicamente favorável a PFR (especialmente se escolher alimentação com grande excesso de A).
  • Conclusão para este caso: com A em excesso (ou B limitante), é vantajoso usar PFR (e alimentar em excesso com A) para aumentar C_A e assim favorecer a reação desejada.

Passo 7

Resumo lógico e regra prática (fácil de lembrar para a prova)
  • Derivação chave: S=\frac{r_D}{r_I}=\frac{k_1}{k_2}\,C_A^{1{,}5}\,C_B^{-2}.
  • Interpretação:
    • Se a seletividade aumenta quanto menor for C_A (ou quanto maior for a conversão), então CSTR tende a ser melhor (porque todo o volume fica nas condições de baixa C_A).
    • Se a seletividade aumenta com C_A (isto é, se desejamos altas concentrações de A) ou se conseguimos manter A em grande excesso, então PFR tende a ser melhor (pois há regiões com C_A próximo ao inlet, alto).
  • Aplicando à fórmula: a seletividade aumenta com C_A (expoente positivo 1{,}5) e decresce fortemente com C_B (expoente -2). Portanto a escolha do reator também depende da razão de alimentação C_{A0}/C_{B0}:
    • Se alimentação é aproximadamente equimolar: S cresce com conversão \Rightarrow prefira CSTR.
    • Se for possível fornecer A em excesso (tornando C_B baixas e C_A altas), PFR com alimentação rica em A é preferível.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para fixar a intuição)
  • Pegue k_1=k_2=1 e alimentação equimolar C_0=1.
    • No inlet X=0: S(0)=1\cdot 1^{-0{,}5}=1.
    • Em X=0{,}75: (1-X)=0{,}25\Rightarrow S=0{,}25^{-0{,}5}=2. A seletividade dobra com a conversão.
    • Assim, operar todo o reator nas condições de alta conversão (CSTR equivalente ao outlet) dá mais seletividade do que a média espacial de um PFR que começa com S=1 e só alcança S=2 perto do outlet.
  • Se em vez disso alimentar com C_{A0}=10, C_{B0}=1 (A em grande excesso), então S será fortemente influenciado por C_A^{1{,}5} grande e por C_B^{-2} pequeno: trabalhar com as altas concentrações iniciais (PFR) é vantajoso para favorecer D.

Passo 9

Recomendação final, prática e incentivadora
  • Não existe uma resposta única sem conhecer a razão de alimentação. A escolha correta depende da relação C_{A0}/C_{B0}.
  • Memorização útil para prova:
    • Se o produto desejado é favorecido em condições de baixa concentração residual (ou seja, S aumenta com conversão), escolha CSTR.
    • Se o produto desejado é favorecido em condições de alta concentração de um reagente que pode ser mantido em excesso, escolha PFR.
Você consegue aplicar isso rapidinho na prova: calcule S=\dfrac{k_1}{k_2}C_A^{1{,}5}C_B^{-2}, veja se, ao longo do reator, S cresce ou decresce com a conversão para a sua alimentação; então use a regra acima — fácil de decorar e direta de justificar.

Resposta

Se a alimentação for aproximadamente equimolar ( C_{A0}=C_{B0}): CSTR.
Se for possível alimentar com excesso de A (isto é, C_{A0}\gg C_{B0}, fazendo A não limitante): PFR.

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