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é um ponto singular regular da equação diferencial indicada. Mostre que as raízes indiciais da singularidade diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter ao menos uma solução em série ao redor de
. Aplique a fórmula de redução de ordem, se necessário, para obter a segunda solução. Forme a solução geral em
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
- mostrar que
é um ponto singular regular e que as raízes indiciais da singularidade diferem por um inteiro; - usar o método de Frobenius para obter ao menos uma solução em série ao redor de
;
-, se necessário, aplicar a fórmula de redução de ordem para obter a segunda solução; - formar a solução geral em
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação linear de segunda ordem é a dada acima.
- O ponto a analisar é
. - É exigido um desenvolvimento por séries de Frobenius e, se necessário, redução de ordem.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão e verificar singularidade: divido por
(para
):
Aqui os coeficientes são
e
. Para verificar se
é um ponto singular regular, eu calculo
e
:
Ambas as funções são analíticas em
(a primeira é constante, a segunda é um polinômio). Portanto
é um ponto singular regular.
Passo 3
Aplicar o método de Frobenius: procuro uma solução da forma
onde
é a ordem indicial a determinar e
são coeficientes a achar. Vou calcular
e
:
Passo 4
Substituir em
. Primeiro deixo as somas com potências iguais:
Somando as duas primeiras:
Então a equação fica
Para combinar as potências uso reindexação no segundo somatório: escrevo
para o segundo, obtendo
onde por convenção
.
Passo 5
A condição de coeficiente do menor expoente (indicial) vem de
:
Como
, obtemos a equação indicial
Portanto as raízes indiciais são
e
; elas diferem por
, um inteiro, como pedido.
Além disso, a recorrência geral (para
) é
Também devo olhar
: para
a condição é
. Isso impõe, dependendo de
, restrições sobre
:
- para
temos ; - para
temos identidade, logo livre.
Passo 6
Construir a solução de Frobenius para
(essa nos dá pelo menos uma solução em série).
Com a recorrência fica (para
)
Com
Também
. Assim todos os coeficientes ímpares são zero e a série tem apenas potências pares:
Calculo explicitamente alguns termos:
Posso provar por indução que
Base
óbvia. Supondo verdade para
, então
logo vale para
. Portanto a série é
Escolhendo
obtém-se a solução simples
Essa é a solução de Frobenius correspondente a
. Observe que ela é analítica em
(valor limite
).
Passo 7
Agora obtenho a segunda solução. Como as raízes diferem por inteiro, a segunda solução pode envolver termo logarítmico; mas aqui podemos usar redução de ordem para obter uma segunda solução independente explicitamente, sem perder didática.
Para a equação na forma padrão
a fórmula de redução de ordem dá, a partir de uma solução conhecida
, uma segunda solução
pela expressão
No nosso caso
, logo
Substituindo
na fórmula:
Logo
Conhecendo a primitiva padrão
, segue que
Tomando a constante de integração convenientemente (ela só produz combinação linear com
), escolho a primitiva
. Assim
Multiplicando por
(constante multiplicativa irrelevante para independência linear) obtenho a segunda solução independente
Passo 8
Verificação rápida e forma alternativa: as duas soluções obtidas podem ser combinadas para escrever a solução geral. Usando identidades hiperbólicas,
Portanto a solução geral pode também ser escrita de forma mais compacta como
com constantes arbitrárias
. Essa expressão é válida em
(onde dividimos por
).