1. x=0 é um ponto singular regular da equação diferencial indicada. Mostre que as raízes indiciais da singularidade não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções em séries linearmente independentes ao redor de x=0. Forme a solução geral em ( 0, \infty ).
2 x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que foi dado e o que se exige:
  • Equação diferencial dada:
2x\,y''-y'+2y=0.
  • Perguntas:
    1. Mostrar que x=0 é um ponto singular regular.
    2. Encontrar as raízes indiciais da singularidade e mostrar que elas não diferem por um inteiro.
    3. Usar o método de Frobenius para obter duas soluções em série linearmente independentes em torno de x=0.
    4. Formar a solução geral em (0,\infty).
Lista das informações relevantes dadas:
  • A equação é de segunda ordem com coeficientes que têm singularidade em x=0 por causa do termo 2x multiplicando y''.
  • Não há imagem nem dados adicionais.

Passo 2

Transformar a equação para a forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0 para verificar o tipo de singularidade em x=0.
Dividindo a equação por 2x (válido para x\neq0) obtemos
y''-\frac{1}{2x}y'+\frac{1}{x}y=0.
Aqui
p(x)=-\frac{1}{2x},\qquad q(x)=\frac{1}{x}.
Para checar se x=0 é um ponto singular regular devemos verificar se x\,p(x) e x^2 q(x) são analíticos (ou ao menos finitos) em x=0. Calculamos:
x\,p(x)=x\left(-\frac{1}{2x}\right)=-\frac{1}{2}, \qquad x^2 q(x)=x^2\cdot\frac{1}{x}=x.
Ambas as expressões são analíticas em x=0 (a primeira é constante, a segunda é uma função polinomial). Portanto x=0 é um ponto singular regular. (Primeira parte demonstrada.)

Passo 3

Aplicar o método de Frobenius: procurar soluções da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+r},\qquad a_0\neq0,
onde r é o expoente indicial a determinar.
Calcular as derivadas formais:
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_n x^{n+r-1}, \qquad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r-2}.
Substituir na equação original escrita como 2x y''-y'+2y=0:
2x\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r-2} -\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_n x^{n+r-1} +2\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+r}=0.
Simplificando as potências:
\sum_{n=0}^{\infty}\bigl[2(n+r)(n+r-1)-(n+r)\bigr]a_n x^{n+r-1} +2\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+r}=0.
Para somar os dois somatórios na mesma potência x^{n+r-1} deslocamos o segundo somatório: em 2\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r} fazemos n\mapsto n-1 e obtemos 2\sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^{n+r-1}. Assim a identidade deve valer para cada potência x^{n+r-1}. Separando o termo n=0 da primeira soma obtemos a equação indicial e a recorrência para n\ge1.
O termo n=0 (coeficiente de x^{r-1}) dá a equação indicial:
\bigl[2r(r-1)-r\bigr]a_0=0.
Como a_0\neq0, a equação indicial é
2r(r-1)-r=0.
Resolver a indicial:
2r^2-2r-r=0\quad\Rightarrow\quad 2r^2-3r=0\quad\Rightarrow\quad r(2r-3)=0.
Logo as raízes são
r_1=\frac{3}{2},\qquad r_2=0.
A diferença é r_1-r_2=\tfrac{3}{2}, que não é um número inteiro. Portanto as duas soluções de Frobenius associadas a essas raízes serão linearmente independentes (resultado padrão do método de Frobenius quando as raízes não diferem por inteiro). (Segunda parte demonstrada.)

Passo 4

Encontrar a recorrência geral para os coeficientes. Para n\ge1, o coeficiente de x^{n+r-1} leva a
\bigl[2(n+r)(n+r-1)-(n+r)\bigr]a_n+2a_{n-1}=0.
Fatorando:
(n+r)\bigl(2(n+r-1)-1\bigr)a_n+2a_{n-1}=0.
Simplificando o fator:
(n+r)\bigl(2n+2r-3\bigr)a_n+2a_{n-1}=0.
Daí obtemos a recorrência útil:
a_n=-\frac{2}{(n+r)(2n+2r-3)}\,a_{n-1},\qquad n\ge1.
Essa fórmula vale para qualquer r (cada escolha de r dá uma sequência de coeficientes).

Passo 5

Construir a primeira solução correspondente a r_1=\tfrac{3}{2}.
Substituindo r=\tfrac{3}{2} na recorrência:
2n+2r-3=2n+3-3=2n,
e
a_n=-\frac{2}{(n+\tfrac{3}{2})(2n)}a_{n-1}=-\frac{1}{n(n+\tfrac{3}{2})}a_{n-1},\qquad n\ge1.
Começando com a_0 arbitrário (por exemplo a_0=1 para obter uma série fundamental), calculamos alguns termos:
a_1=-\frac{1}{1\cdot(1+\tfrac{3}{2})}a_0=-\frac{1}{5/2}a_0=-\frac{2}{5}a_0,
a_2=-\frac{1}{2\cdot(2+\tfrac{3}{2})}a_1=-\frac{1}{2\cdot 7/2}a_1=-\frac{1}{7}a_1=\frac{2}{35}a_0,
e assim por diante. Não é necessário escrever fórmula fechada dos a_n; a recorrência determina todos os coeficientes a partir de a_0.
Portanto uma solução de Frobenius é
y_1(x)=x^{\tfrac{3}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
onde os a_n satisfazem a_0\neq0 e a recorrência
a_n=-\frac{1}{n(n+\tfrac{3}{2})}a_{n-1}\quad(n\ge1).

Passo 6

Construir a segunda solução correspondente a r_2=0.
Substituindo r=0 na recorrência:
a_n=-\frac{2}{n(2n-3)}a_{n-1},\qquad n\ge1.
Começando com a_0 arbitrário (por exemplo a_0=1), calculamos alguns coeficientes:
a_1=-\frac{2}{1(2-3)}a_0=-\frac{2}{-1}a_0=2a_0,
a_2=-\frac{2}{2(4-3)}a_1=-\frac{2}{2\cdot1}a_1=-1\cdot a_1=-2a_0,
a_3=-\frac{2}{3(6-3)}a_2=-\frac{2}{3\cdot3}a_2=-\frac{2}{9}(-2a_0)=\frac{4}{9}a_0,
etc.
A segunda solução de Frobenius é
y_2(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n},
com a_0\neq0 e recorrência
a_n=-\frac{2}{n(2n-3)}a_{n-1}\quad(n\ge1).
Observação sobre independência: como as raízes indicial r_1=\tfrac{3}{2} e r_2=0 não diferem por inteiro, y_1 e y_2 são linearmente independentes e formam uma base de soluções locais em torno de x=0 (para x>0).

Passo 7

Formar a solução geral em (0,\infty). Como temos duas soluções linearmente independentes y_1 e y_2, a solução geral é combinação linear:
y(x)=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias e y_1,y_2 são as séries obtidas nos passos anteriores.
Para ser explícito, podemos escrever:
y_1(x)=x^{\tfrac{3}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,\qquad a_n=-\frac{1}{n(n+\tfrac{3}{2})}a_{n-1},
e
y_2(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n,\qquad b_n=-\frac{2}{n(2n-3)}b_{n-1},
com a_0 e b_0 escolhidos (normalmente 1 para obter as séries padrão). Assim a solução geral em (0,\infty) é
y(x)=C_1 x^{\tfrac{3}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n + C_2 \sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n.

Resposta

y(x)=C_1\,x^{\tfrac{3}{2}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n + C_2\,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n, onde os coeficientes satisfazem as recorrências
a_0\neq0,\qquad a_n=-\frac{1}{n\bigl(n+\tfrac{3}{2}\bigr)}\,a_{n-1}\quad(n\ge1),
b_0\neq0,\qquad b_n=-\frac{2}{n(2n-3)}\,b_{n-1}\quad(n\ge1).

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