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é um ponto singular regular da equação diferencial indicada. Mostre que as raízes indiciais da singularidade não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções em séries linearmente independentes ao redor de
. Forme a solução geral em (
).
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que foi dado e o que se exige:
- Equação diferencial dada:
- Perguntas:
- Mostrar que
é um ponto singular regular. - Encontrar as raízes indiciais da singularidade e mostrar que elas não diferem por um inteiro.
- Usar o método de Frobenius para obter duas soluções em série linearmente independentes em torno de
. - Formar a solução geral em
.
- Mostrar que
Lista das informações relevantes dadas:
- A equação é de segunda ordem com coeficientes que têm singularidade em
por causa do termo multiplicando . - Não há imagem nem dados adicionais.
Passo 2
Transformar a equação para a forma padrão
para verificar o tipo de singularidade em
.
Dividindo a equação por
(válido para
) obtemos
Aqui
Para checar se
é um ponto singular regular devemos verificar se
e
são analíticos (ou ao menos finitos) em
. Calculamos:
Ambas as expressões são analíticas em
(a primeira é constante, a segunda é uma função polinomial). Portanto
é um ponto singular regular. (Primeira parte demonstrada.)
Passo 3
Aplicar o método de Frobenius: procurar soluções da forma
onde
é o expoente indicial a determinar.
Calcular as derivadas formais:
Substituir na equação original escrita como
:
Simplificando as potências:
Para somar os dois somatórios na mesma potência
deslocamos o segundo somatório: em
fazemos
e obtemos
. Assim a identidade deve valer para cada potência
. Separando o termo
da primeira soma obtemos a equação indicial e a recorrência para
.
O termo
(coeficiente de
) dá a equação indicial:
Como
, a equação indicial é
Resolver a indicial:
Logo as raízes são
A diferença é
, que não é um número inteiro. Portanto as duas soluções de Frobenius associadas a essas raízes serão linearmente independentes (resultado padrão do método de Frobenius quando as raízes não diferem por inteiro). (Segunda parte demonstrada.)
Passo 4
Encontrar a recorrência geral para os coeficientes. Para
, o coeficiente de
leva a
Fatorando:
Simplificando o fator:
Daí obtemos a recorrência útil:
Essa fórmula vale para qualquer
(cada escolha de
dá uma sequência de coeficientes).
Passo 5
Construir a primeira solução correspondente a
.
Substituindo
na recorrência:
e
Começando com
arbitrário (por exemplo
para obter uma série fundamental), calculamos alguns termos:
e assim por diante. Não é necessário escrever fórmula fechada dos
; a recorrência determina todos os coeficientes a partir de
.
Portanto uma solução de Frobenius é
onde os
satisfazem
e a recorrência
Passo 6
Construir a segunda solução correspondente a
.
Substituindo
na recorrência:
Começando com
arbitrário (por exemplo
), calculamos alguns coeficientes:
etc.
A segunda solução de Frobenius é
com
e recorrência
Observação sobre independência: como as raízes indicial
e
não diferem por inteiro,
e
são linearmente independentes e formam uma base de soluções locais em torno de
(para
).
Passo 7
Formar a solução geral em
. Como temos duas soluções linearmente independentes
e
, a solução geral é combinação linear:
onde
são constantes arbitrárias e
são as séries obtidas nos passos anteriores.
Para ser explícito, podemos escrever:
e
com
e
escolhidos (normalmente
para obter as séries padrão). Assim a solução geral em
é