Q10: Considere as retas em \mathbb{R}^{2} :
\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}4 \\\\ -1\end{array}\right]\right\} e \left[\begin{array}{r}-10 \\\\ 4\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x, y ) em que estas duas retas se interceptam. O valor da entrada x é:
(A) -5
(B) -4
(C) -6
(D) -7
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^2 em forma paramétrica:
a primeira passa por \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix} com direção \begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix};
a segunda passa por \begin{pmatrix}-10\\\ 4\end{pmatrix} com direção \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar o ponto de interseção, ou seja, os parâmetros tais que as duas expressões paramétricas coincidam.

Passo 2

Escrevemos a equação vetorial de cada reta usando parâmetros t e s:
\ell_1(t) = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 + 4t \\\\ 1 - t\end{pmatrix},
\ell_2(s) = \begin{pmatrix}-10\\\ 4\end{pmatrix} + s\,\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10 -2s \\\\ 4 + s\end{pmatrix}.

Passo 3

Para a interseção, igualamos \ell_1(t)=\ell_2(s), obtendo o sistema
-2 + 4t = -10 - 2s,
1 - t = 4 + s.

Passo 4

Da segunda equação,
1 - t = 4 + s \quad\Longrightarrow\quad -t - s = 3 \quad\Longrightarrow\quad t + s = -3.
Da primeira equação,
-2 + 4t = -10 -2s \quad\Longrightarrow\quad 4t + 2s = -8 \quad\Longrightarrow\quad 2t + s = -4.
Assim temos o sistema linear
\begin{cases} 2t + s = -4,\\\ t + s = -3. \end{cases}

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira, vem
(2t + s) - (t + s) = -4 - (-3) \quad\Longrightarrow\quad t = -1.
Então s = -3 - t = -3 - (-1) = -2.

Passo 6

Substituímos t=-1 em \ell_1(t) para achar o ponto:
x = -2 + 4(-1) = -2 - 4 = -6,\quad y = 1 - (-1) = 2.
Verificamos também em \ell_2(s) e confirmamos (x,y)=(-6,2).

Resposta

(C) -6

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