Q10: Seja \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}, \vec{v}_{4}\right\} uma base do \mathbb{R}^{4}. Se A é uma matriz 4 \times 4 tal que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são autovetores associados ao autovalor 3 e \vec{v}_{3} e \vec{v}_{4} são autovetores associados ao autovalor -1 , então o determinante de A vale:
(B) -9
(C) -2
(D) -3
(E) 2
(F) 3
(x) 9

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há um conjunto \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3},\vec{v}_{4}\} que é uma base de \mathbb{R}^{4}.
  • A matriz A é 4\times4.
  • \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são autovetores de A associados ao autovalor 3.
  • \vec{v}_{3} e \vec{v}_{4} são autovetores de A associados ao autovalor -1.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o determinante de A.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa ser autovetor e autovalor, de forma simples e direta:
  • Dizer que \vec{v} é autovetor de A associado ao autovalor \lambda significa que se aplica A em \vec{v} obtém-se apenas um escalar vezes \vec{v}:
A\vec{v}=\lambda\vec{v}.
Aqui temos que
A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=3\vec{v}_{2},
A\vec{v}_{3}=-1\vec{v}_{3},\qquad A\vec{v}_{4}=-1\vec{v}_{4}.

Passo 3

Como \{\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{4}\} é uma base, podemos formar a matriz P cujas colunas são esses vetores:
P=\big[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}\\ \vec{v}_{4}\big].
Por ser formada por uma base, P é invertível (ou seja, \det(P)\neq0).

Passo 4

Expressar A na base dada: a ação de A sobre cada coluna de P mostra que, na base formada pelas colunas de P, a matriz que representa A é diagonal com os autovalores nas entradas diagonais. Em fórmulas:
A P = P D,
onde
D=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Da igualdade A P = P D segue que
A = P D P^{-1},
ou seja, A é semelhante à matriz diagonal D.]

Passo 5

Usar propriedades do determinante. Para matrizes quadradas X,Y vale \det(XY)=\det(X)\det(Y) e \det(X^{-1})=\dfrac{1}{\det(X)}. Então, aplicando em A = P D P^{-1},
\det(A)=\det(P)\det(D)\det(P^{-1})=\det(P)\det(D)\frac{1}{\det(P)}=\det(D).
Portanto o determinante de A é igual ao determinante da matriz diagonal D.

Passo 6

Calcular o determinante de D. Para uma matriz diagonal, o determinante é o produto das entradas da diagonal. Assim:
\det(D)=3\cdot 3\cdot(-1)\cdot(-1).

Passo 7

Efetuar a multiplicação:
3\cdot 3\cdot(-1)\cdot(-1)=9.

Resposta

9

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