Q10: Seja \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}, \vec{v}_{4}\right\} uma base do \mathbb{R}^{4}. Se A é uma matriz 4 \times 4 tal que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são autovetores associados ao autovalor 3 e \vec{v}_{3} e \vec{v}_{4} são autovetores associados ao autovalor -1 , então o determinante de A vale:
(B) -9
(C) -2
(D) -3
(E) 2
(F) 3
(x) 9
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Há um conjunto \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3},\vec{v}_{4}\} que é uma base de \mathbb{R}^{4}.
A matriz A é 4\times4.
\vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são autovetores de A associados ao autovalor 3.
\vec{v}_{3} e \vec{v}_{4} são autovetores de A associados ao autovalor -1.
O que o enunciado pede:
Calcular o determinante de A.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa ser autovetor e autovalor, de forma simples e direta:
Dizer que \vec{v} é autovetor de A associado ao autovalor \lambda significa que se aplica A em \vec{v} obtém-se apenas um escalar vezes \vec{v}:
Por ser formada por uma base, P é invertível (ou seja, \det(P)\neq0).
Passo 4
Expressar A na base dada: a ação de A sobre cada coluna de P mostra que, na base formada pelas colunas de P, a matriz que representa A é diagonal com os autovalores nas entradas diagonais. Em fórmulas:
Usar propriedades do determinante. Para matrizes quadradas X,Y vale \det(XY)=\det(X)\det(Y) e \det(X^{-1})=\dfrac{1}{\det(X)}. Então, aplicando em A = P D P^{-1},