1Q7. Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rr|r} 1 & -1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 6 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{2}, a 2^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
A) -3
B) -2
D) 1
E) 2
F) 3
c) -1

Passo 1

O enunciado pede a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema linear representado pela matriz aumentada. Os dados fornecidos (extraídos da matriz aumentada) são:
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 2 & 1\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
  • O vetor dos termos independentes é
\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]6\end{pmatrix}.
O que se pede especificamente é o valor da segunda coordenada da solução por mínimos quadrados, isto é, x_{2} da solução \vec{x}=(x_{1},x_{2})^{T}.]

Passo 2

Explicação didática do método de mínimos quadrados (rápida e direta): quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} não tem solução exata (ou mesmo quando tem, o procedimento é o mesmo), a solução por mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza o erro quadrático \lVert A\vec{x}-\vec{b}\rVert^{2}. Uma forma prática de obter essa \vec{x} é resolver as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b},
onde A^{T} é a transposta de A. Essas equações vêm de igualar a zero o gradiente da função erro; aqui basta saber que essa é a fórmula padrão para mínimos quadrados.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo os termos das equações normais. Primeiro calculemos A^{T}. A transposta de A é
A^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\[4pt]-1 & 1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcule A^{T}A fazendo produtos internos entre colunas de A (ou linhas de A^{T}). As entradas são:
A^{T}A=\begin{pmatrix} \langle \text{col}_1,\text{col}_1\rangle & \langle \text{col}_1,\text{col}_2\rangle\\[4pt] \langle \text{col}_2,\text{col}_1\rangle & \langle \text{col}_2,\text{col}_2\rangle \end{pmatrix}.
Onde \text{col}_1=(1,2,0)^{T} e \text{col}_2=(-1,1,-1)^{T}. Calculando:
\langle \text{col}_1,\text{col}_1\rangle = 1^{2}+2^{2}+0^{2}=1+4+0=5,
\langle \text{col}_1,\text{col}_2\rangle = 1\cdot(-1)+2\cdot1+0\cdot(-1)=-1+2+0=1,
\langle \text{col}_2,\text{col}_2\rangle = (-1)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}=1+1+1=3.
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calcule A^{T}\vec{b} usando \vec{b}=(2,0,6)^{T}. Fazendo os produtos linha por coluna:
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot0 + 0\cdot6\\[4pt] (-1)\cdot2 + 1\cdot0 + (-1)\cdot6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\[4pt]-8\end{pmatrix}.]

Passo 6

As equações normais ficam então
\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\[4pt]-8\end{pmatrix}.
Vamos resolver esse sistema 2\times2. O determinante da matriz dos coeficientes é
\det = 5\cdot 3 - 1\cdot 1 = 15-1=14.
Podemos usar a inversa da matriz ou eliminação. Usando a inversa (fórmula para matriz 2\times2):
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-8\end{pmatrix}.
Calcule o produto:
\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\cdot2 + (-1)\cdot(-8)\\[4pt]-1\cdot2 + 5\cdot(-8)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6+8\\[4pt]-2-40\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}14\\[4pt]-42\end{pmatrix}.
Dividindo por 14
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação final e incentivo: a solução por mínimos quadrados encontrada é \vec{x}=(1,-3)^{T}. Portanto a segunda entrada pedida é -3. Mandou bem em pedir passo a passo — isso aparece frequentemente em provas!

Resposta

-3

Exercícios relacionados