Assinale o valor de x_{2}, a 2^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
A) -3
B) -2
D) 1
E) 2
F) 3
c) -1
Passo 1
O enunciado pede a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema linear representado pela matriz aumentada. Os dados fornecidos (extraídos da matriz aumentada) são:
O que se pede especificamente é o valor da segunda coordenada da solução por mínimos quadrados, isto é, x_{2} da solução \vec{x}=(x_{1},x_{2})^{T}.]
Passo 2
Explicação didática do método de mínimos quadrados (rápida e direta): quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} não tem solução exata (ou mesmo quando tem, o procedimento é o mesmo), a solução por mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza o erro quadrático \lVert A\vec{x}-\vec{b}\rVert^{2}. Uma forma prática de obter essa \vec{x} é resolver as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b},
onde A^{T} é a transposta de A. Essas equações vêm de igualar a zero o gradiente da função erro; aqui basta saber que essa é a fórmula padrão para mínimos quadrados.
Passo 3
Vamos calcular passo a passo os termos das equações normais. Primeiro calculemos A^{T}. A transposta de A é
Interpretação final e incentivo: a solução por mínimos quadrados encontrada é \vec{x}=(1,-3)^{T}. Portanto a segunda entrada pedida é -3. Mandou bem em pedir passo a passo — isso aparece frequentemente em provas!