Q9: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.
I. Se M é uma matriz diagonalizável, então M é simétrica.
II. Se \vec{u} e \vec{v} são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=0 . \checkmark

Passo 1

O enunciado pede que se escolha a alternativa correta entre (A), (B), (C) e (D) relativas às duas afirmativas I e II abaixo:
  • I. Se M é uma matriz diagonalizável, então M é simétrica.
  • II. Se \vec{u} e \vec{v} são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=0.
Informações relevantes dadas:
  • As duas afirmações são proposições que podem ser verdadeiras ou falsas.
  • É preciso decidir qual alternativa (A)-(D) corresponde ao valor de verdade das afirmações (por exemplo, se apenas II é verdadeira, escolhe-se a alternativa correspondente).

Passo 2

Vamos lembrar com cuidado o que cada termo significa (isso vai ajudar a entender por que cada afirmação é verdadeira ou falsa).
Definições e propriedades fundamentais:
  • Uma matriz A é simétrica se A^{T}=A. Aqui A^{T} é a transposta de A.
  • Um vetor \vec{v}\neq\vec{0} é autovetor de A associado ao autovalor \lambda se
A\vec{v}=\lambda\vec{v}.
  • Dizemos que A é diagonalizável se existe uma matriz invertível P tal que
P^{-1}AP=D,
onde D é uma matriz diagonal. Em palavras: há uma base formada por autovetores de A.
  • Produto interno padrão no \mathbb{R}^n: para \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^n,
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle=\sum_{i} u_i v_i.
  • Uma propriedade útil do produto interno e transposta é: para matrizes/vetores compatíveis,
\langle A\vec{u},\vec{v}\rangle=\langle\vec{u},A^{T}\vec{v}\rangle.
Essa identidade será usada na prova da afirmativa II.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Se M é diagonalizável, então M é simétrica.”
Estratégia: uma implicação universal do tipo “se P então Q” pode ser refutada com um contraexemplo: um M que seja diagonalizável mas não seja simétrico basta para mostrar que a afirmação é falsa.
Construção de um contraexemplo simples (matriz 2\times2):
Considere
M=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
  • Verificação de que M NÃO é simétrica:
M^{T}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}\neq M,
logo M não é simétrica.
  • Verificação de que M é diagonalizável: primeiro calcule os autovalores resolvendo \det(M-\lambda I)=0.
\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]0 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(2-\lambda).
Portanto os autovalores são \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=2 (distintos). Para matrizes reais, autovalores distintos implicam que existem dois autovetores linearmente independentes, o que garante diagonalizabilidade. Para ser explícito, vamos achar os autovetores:
  • Para \lambda=1, resolver (M-I)\vec{x}=\vec{0}:
\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad y=0.
Um autovetor é \vec{v}_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Para \lambda=2, resolver (M-2I)\vec{x}=\vec{0}:
\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad y=x.
Um autovetor é \vec{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Os vetores \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são linearmente independentes, logo formam uma base de autovetores e M é diagonalizável.
Conclusão deste passo: existe uma matriz diagonalizável que não é simétrica, portanto a afirmativa I é falsa.]

Passo 4

Comentário didático adicional sobre I (o que aprender aqui para a prova):
  • Importante lembrar: matrizes simétricas (reais) têm propriedades fortes — por exemplo, são diagonalizáveis por matrizes ortogonais (Teorema espectral). Em notação, se A é simétrica existe Q ortogonal tal que
Q^{T}AQ=D.
  • Porém a recíproca NÃO vale: haver diagonalização (mesmo por uma matriz invertível) não obriga a matriz a ser simétrica. Diagonalizabilidade é uma propriedade mais fraca. Portanto não se deve confundir as duas direções.

Passo 5

Análise da afirmativa II: “Se \vec{u} e \vec{v} são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=0.”
Vamos provar isso passo a passo (prova padrão, essencial para a prova da matéria).
Hipóteses: A é simétrica, isto é A^{T}=A. Suponha
A\vec{u}=\lambda\vec{u},\qquad A\vec{v}=\mu\vec{v},
com \lambda e \mu autovalores distintos ( \lambda\neq\mu) e \vec{u},\vec{v}\neq\vec{0} (autovetores não nulos por definição).
Agora use a propriedade do produto interno e da transposta:
\langle A\vec{u},\vec{v}\rangle=\langle\vec{u},A^{T}\vec{v}\rangle.
Como A^{T}=A, isso dá
\langle A\vec{u},\vec{v}\rangle=\langle\vec{u},A\vec{v}\rangle.
Substituindo A\vec{u}=\lambda\vec{u} e A\vec{v}=\mu\vec{v}:
\langle \lambda\vec{u},\vec{v}\rangle=\langle\vec{u},\mu\vec{v}\rangle.
Puxando escalares para fora do produto interno (propriedade bilinear):
\lambda\langle\vec{u},\vec{v}\rangle=\mu\langle\vec{u},\vec{v}\rangle.
Rearranjando,
(\lambda-\mu)\langle\vec{u},\vec{v}\rangle=0.
Como \lambda\neq\mu, segue que \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=0. Portanto os autovetores são ortogonais. Isso prova que a afirmativa II é verdadeira.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (para fixar): tome a matriz simétrica
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
Se calcula que os autovalores são \lambda=3 e \mu=1. Autovetores correspondentes são \vec{u}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} (para \lambda=3) e \vec{v}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix} (para \mu=1). O produto interno é
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle=1\cdot1+1\cdot(-1)=0,
confirmando a propriedade ortogonal que acabamos de provar.]

Passo 7

Conclusão final sobre as afirmativas:
  • I é falsa (fornecemos contraexemplo).
  • II é verdadeira (prova direta usando A^{T}=A e propriedades do produto interno).
Portanto a alternativa correta é a que diz “Só II é verdadeira.”

Resposta

(C)

Exercícios relacionados