Q9: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.
I. Se
é uma matriz diagonalizável, então
é simétrica.
II. Se
e
são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.
I. Se
II. Se
Passo 1
O enunciado pede que se escolha a alternativa correta entre (A), (B), (C) e (D) relativas às duas afirmativas I e II abaixo:
- I. Se
é uma matriz diagonalizável, então é simétrica. - II. Se
e são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então .
Informações relevantes dadas:
- As duas afirmações são proposições que podem ser verdadeiras ou falsas.
- É preciso decidir qual alternativa (A)-(D) corresponde ao valor de verdade das afirmações (por exemplo, se apenas II é verdadeira, escolhe-se a alternativa correspondente).
Passo 2
Vamos lembrar com cuidado o que cada termo significa (isso vai ajudar a entender por que cada afirmação é verdadeira ou falsa).
Definições e propriedades fundamentais:
- Uma matriz
é simétrica se . Aqui é a transposta de . - Um vetor
é autovetor de associado ao autovalor se
- Dizemos que
é diagonalizável se existe uma matriz invertível tal que
onde
é uma matriz diagonal. Em palavras: há uma base formada por autovetores de
.
- Produto interno padrão no
: para ,
- Uma propriedade útil do produto interno e transposta é: para matrizes/vetores compatíveis,
Essa identidade será usada na prova da afirmativa II.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se
é diagonalizável, então
é simétrica.”
Estratégia: uma implicação universal do tipo “se P então Q” pode ser refutada com um contraexemplo: um
que seja diagonalizável mas não seja simétrico basta para mostrar que a afirmação é falsa.
Construção de um contraexemplo simples (matriz
):
Considere
Considere
- Verificação de que
NÃO é simétrica:
logo
não é simétrica.
- Verificação de que
é diagonalizável: primeiro calcule os autovalores resolvendo .
Portanto os autovalores são
e
(distintos). Para matrizes reais, autovalores distintos implicam que existem dois autovetores linearmente independentes, o que garante diagonalizabilidade. Para ser explícito, vamos achar os autovetores:
- Para
, resolver :
Um autovetor é
.
- Para
, resolver :
Um autovetor é
.
Os vetores e
são linearmente independentes, logo formam uma base de autovetores e
é diagonalizável.
Os vetores
Conclusão deste passo: existe uma matriz diagonalizável que não é simétrica, portanto a afirmativa I é falsa.]
Passo 4
Comentário didático adicional sobre I (o que aprender aqui para a prova):
- Importante lembrar: matrizes simétricas (reais) têm propriedades fortes — por exemplo, são diagonalizáveis por matrizes ortogonais (Teorema espectral). Em notação, se
é simétrica existe ortogonal tal que
- Porém a recíproca NÃO vale: haver diagonalização (mesmo por uma matriz invertível) não obriga a matriz a ser simétrica. Diagonalizabilidade é uma propriedade mais fraca. Portanto não se deve confundir as duas direções.
Passo 5
Análise da afirmativa II: “Se
e
são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então
.”
Vamos provar isso passo a passo (prova padrão, essencial para a prova da matéria).
Hipóteses:
é simétrica, isto é
. Suponha
com
e
autovalores distintos (
) e
(autovetores não nulos por definição).
Agora use a propriedade do produto interno e da transposta:
Como
, isso dá
Substituindo
e
:
Puxando escalares para fora do produto interno (propriedade bilinear):
Rearranjando,
Como
, segue que
. Portanto os autovetores são ortogonais. Isso prova que a afirmativa II é verdadeira.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (para fixar): tome a matriz simétrica
Se calcula que os autovalores são
e
. Autovetores correspondentes são
(para
) e
(para
). O produto interno é
confirmando a propriedade ortogonal que acabamos de provar.]
Passo 7
Conclusão final sobre as afirmativas:
- I é falsa (fornecemos contraexemplo).
- II é verdadeira (prova direta usando
e propriedades do produto interno).
Portanto a alternativa correta é a que diz “Só II é verdadeira.”
Resposta
(C)