Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (2,4,3,-4) e (0,-5,1,-1) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4 e pede em qual intervalo entre as alternativas o ângulo \theta entre eles se localiza. Dados importantes que temos:
  • Vetor u=(2,4,3,-4).
  • Vetor v=(0,-5,1,-1).
    O que é solicitado: identificar, entre as alternativas (A) a (H), em qual intervalo está o ângulo \theta entre u e v.

Passo 2

Definição e cálculo do produto interno (dot product).
Para vetores u=(u_1,u_2,\dots,u_n) e v=(v_1,v_2,\dots,v_n) em \mathbb{R}^n, o produto interno é
\langle u,v\rangle = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
Aplicando aos vetores dados:
\langle u,v\rangle = 2\cdot 0 + 4\cdot(-5) + 3\cdot 1 + (-4)\cdot(-1).
Agora faço as multiplicações e somas passo a passo:
2\cdot 0 = 0,\quad 4\cdot(-5)=-20,\quad 3\cdot1=3,\quad (-4)\cdot(-1)=4.
Somando:
\langle u,v\rangle = 0-20+3+4 = -13.
Então o produto interno é \langle u,v\rangle = -13.

Passo 3

Definição e cálculo das normas (comprimentos) dos vetores.
A norma de um vetor w=(w_1,\dots,w_n) é
\|w\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n w_i^2}.
Calculo para u:
\|u\|^2 = 2^2+4^2+3^2+(-4)^2 = 4+16+9+16 = 45,
portanto
\|u\| = \sqrt{45}.
Calculo para v:
\|v\|^2 = 0^2+(-5)^2+1^2+(-1)^2 = 0+25+1+1 = 27,
portanto
\|v\| = \sqrt{27}.

Passo 4

Fórmula que relaciona produto interno e ângulo.
Para o ângulo \theta entre u e v vale
\langle u,v\rangle = \|u\|\,\|v\| \cos\theta,
ou seja
\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.
Substituindo os valores que obtivemos:
\cos\theta = \frac{-13}{\sqrt{45}\,\sqrt{27}}.
Faço a simplificação exata do denominador:
\sqrt{45}\,\sqrt{27}=\sqrt{45\cdot 27}=\sqrt{1215}.
Fatorando 1215=3^5\cdot 5 e usando radicais:
\sqrt{1215} = 9\sqrt{15}.
Portanto uma forma exata útil é
\cos\theta = \frac{-13}{9\sqrt{15}}.

Passo 5

Interpretação numérica e comparação com cossenos conhecidos (para não precisar calcular \operatorname{arccos} com calculadora).
Calculo aproximado rápido:
\sqrt{15}\approx 3{,}873,\quad 9\sqrt{15}\approx 34{,}857,
logo
\cos\theta \approx \frac{-13}{34{,}857}\approx -0{,}3732.
Agora uso valores de cosseno de ângulos de referência:
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5.
Observando que
-0{,}5 < -0{,}3732 < 0,
e sabendo que a função \cos é estritamente decrescente em [0,\pi], concluo que o ângulo correspondente satisfaz
\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}.
Isso nos coloca no intervalo entre \pi/2 e 2\pi/3.

Passo 6

Verificação de bordas e correspondência com as alternativas.
A desigualdade encontrada é \tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{2\pi}{3}. A alternativa que contém esse intervalo é a que afirma
\frac{\pi}{2}<\theta\le \frac{2\pi}{3},
ou seja a alternativa (E) (note que nosso \theta é estritamente menor que \tfrac{2\pi}{3}, então cai dentro do intervalo indicado em (E)).

Resposta

E

Exercícios relacionados