O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4 e pede em qual intervalo entre as alternativas o ângulo \theta entre eles se localiza. Dados importantes que temos:
Vetor u=(2,4,3,-4).
Vetor v=(0,-5,1,-1).
O que é solicitado: identificar, entre as alternativas (A) a (H), em qual intervalo está o ângulo \theta entre u e v.
Passo 2
Definição e cálculo do produto interno (dot product).
Para vetores u=(u_1,u_2,\dots,u_n) e v=(v_1,v_2,\dots,v_n) em \mathbb{R}^n, o produto interno é
Interpretação numérica e comparação com cossenos conhecidos (para não precisar calcular \operatorname{arccos} com calculadora).
Calculo aproximado rápido:
e sabendo que a função \cos é estritamente decrescente em [0,\pi], concluo que o ângulo correspondente satisfaz
\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}.
Isso nos coloca no intervalo entre \pi/2 e 2\pi/3.
Passo 6
Verificação de bordas e correspondência com as alternativas.
A desigualdade encontrada é \tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{2\pi}{3}. A alternativa que contém esse intervalo é a que afirma
\frac{\pi}{2}<\theta\le \frac{2\pi}{3},
ou seja a alternativa (E) (note que nosso \theta é estritamente menor que \tfrac{2\pi}{3}, então cai dentro do intervalo indicado em (E)).