Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 120 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{ll}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede a matriz que representa a transformação linear R T em \mathbb{R}^2, onde:
R é a rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por 120^\circ.
T é a reflexão através do eixo y (isto é, reflexão em relação ao eixo vertical).
Informações dadas e o que precisamos produzir:
Precisamos a matriz M que representa a composição R\circ T (denotada por R T), no referido sistema de coordenadas canônico.
Sabemos que a composição de transformações lineares corresponde ao produto das matrizes que as representam, na ordem em que são aplicadas (primeiro T, depois R): a matriz de R T é a matriz de R multiplicada pela matriz de T.
Passo 2
Encontrar a matriz de T (reflexão através do eixo y).
A reflexão através do eixo y envia (x,y) em (-x,y).
Aplicando isso aos vetores da base canônica: T(1,0)=(-1,0) e T(0,1)=(0,1).
Portanto a matriz de T na base canônica tem primeiras e segundas colunas iguais a essas imagens: