Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 120 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{ll}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz que representa a transformação linear R T em \mathbb{R}^2, onde:
  • R é a rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por 120^\circ.
  • T é a reflexão através do eixo y (isto é, reflexão em relação ao eixo vertical).
Informações dadas e o que precisamos produzir:
  • Precisamos a matriz M que representa a composição R\circ T (denotada por R T), no referido sistema de coordenadas canônico.
  • Sabemos que a composição de transformações lineares corresponde ao produto das matrizes que as representam, na ordem em que são aplicadas (primeiro T, depois R): a matriz de R T é a matriz de R multiplicada pela matriz de T.

Passo 2

Encontrar a matriz de T (reflexão através do eixo y).
  • A reflexão através do eixo y envia (x,y) em (-x,y).
  • Aplicando isso aos vetores da base canônica: T(1,0)=(-1,0) e T(0,1)=(0,1).
  • Portanto a matriz de T na base canônica tem primeiras e segundas colunas iguais a essas imagens:
T=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Encontrar a matriz de R (rotação de 120^\circ no sentido anti-horário).
  • A fórmula padrão para a matriz de rotação de um ângulo \theta em \mathbb{R}^2 é:
\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\[4pt] \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
  • Aqui \theta=120^\circ. Usando razões trigonométricas conhecidas:
    \cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2} e \sin 120^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Substituindo:
R=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Entender a ordem da composição e como calcular R T.
  • Notação R T significa aplicar primeiro T e depois R. A matriz da composição é o produto matricial R\cdot T.
  • Podemos calcular R T aplicando R às colunas de T (porque as colunas de T são as imagens de e_1,e_2 por T).

Passo 5

Calcular R T coluna a coluna (procedimento prático e fácil de fazer na prova).
  • Primeira coluna de T é T(e_1)=(-1,0). Aplicando R:
    • R(-1,0) = -1\cdot R(1,0) = -1\cdot (\cos 120^\circ,\sin 120^\circ) = -1\cdot (-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}).
    • Isso dá \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).
  • Segunda coluna de T é T(e_2)=(0,1). Aplicando R:
    • R(0,1)=R(e_2)=(-\sin 120^\circ,\cos 120^\circ)=\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 6

Montar a matriz R T com as colunas obtidas:
R T = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Comparar a matriz encontrada com as opções dadas.
  • A matriz obtida coincide exatamente com a opção (G):
\left[\begin{array}{rr}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{array}\right].]

Resposta

G

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