Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede para determinar em qual intervalo dentre as alternativas está o ângulo
entre os vetores
Informações dadas:
- Vetores
e em com as componentes acima. - A resposta deve ser uma das opções (A) a (H), cada uma descrevendo um intervalo para
.
Passo 2
Fórmula fundamental (o que vamos usar) e explicação didática:
- O ângulo
entre dois vetores em satisfaz
Aqui:
-
é o produto interno (produto escalar): multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados. -
é a norma de : .
Esse é um jeito direto — primeiro calcula-se, depois as normas, e por fim obtém-se .
Agora calculo o produto escalar componente a componente:
Calcule passo a passo:
logo
Passo 3
Agora as normas (explicando a fórmula):
- Para
tem-se .
Calcule
:
Calcule
:
Passo 4
Agora aplico a fórmula do cosseno:
Avaliação numérica aproximada (para comparar com os limites das opções):
(Dica rápida:
, então
.)
Passo 5
Interpretação e comparação com os limites das alternativas:
- Valores conhecidos:
- Observa-se que
- Como a função
é estritamente decrescente em , a desigualdade acima implica
Portanto
pertence ao intervalo aberto entre
e
. Como as alternativas usam extremos com desigualdades do tipo
, a nossa estimativa
e
encaixa nessa faixa.
Resposta
(F)