Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (5,-5,-1,0) e (-2,3,1,4) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede para determinar em qual intervalo dentre as alternativas está o ângulo \theta entre os vetores
\mathbf{u}=(5,-5,-1,0) \qquad\text{e}\qquad \mathbf{v}=(-2,3,1,4).
Informações dadas:
  • Vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^4 com as componentes acima.
  • A resposta deve ser uma das opções (A) a (H), cada uma descrevendo um intervalo para \theta.

Passo 2

Fórmula fundamental (o que vamos usar) e explicação didática:
  • O ângulo \theta entre dois vetores em \mathbb{R}^n satisfaz
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Aqui:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto interno (produto escalar): multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados.
  • \|\mathbf{u}\| é a norma de \mathbf{u}: \|\mathbf{u}\|=\sqrt{\text{soma dos quadrados das componentes}}.
    Esse é um jeito direto — primeiro calcula-se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}, depois as normas, e por fim obtém-se \cos\theta.
Agora calculo o produto escalar componente a componente:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=5\cdot(-2)+(-5)\cdot 3+(-1)\cdot 1+0\cdot 4.
Calcule passo a passo:
5\cdot(-2)=-10,\qquad (-5)\cdot3=-15,\qquad (-1)\cdot1=-1,\qquad 0\cdot4=0,
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\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-10-15-1+0=-26.

Passo 3

Agora as normas (explicando a fórmula):
  • Para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3,u_4) tem-se \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2}.
Calcule \|\mathbf{u}\|:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{5^2+(-5)^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{25+25+1+0}=\sqrt{51}.
Calcule \|\mathbf{v}\|:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2+4^2}=\sqrt{4+9+1+16}=\sqrt{30}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|} =\frac{-26}{\sqrt{51}\,\sqrt{30}}=\frac{-26}{\sqrt{1530}}.
Avaliação numérica aproximada (para comparar com os limites das opções):
\cos\theta\approx -0,665.
(Dica rápida: \sqrt{1530}\approx 39,12, então -26/39,12\approx -0,665.)

Passo 5

Interpretação e comparação com os limites das alternativas:
  • Valores conhecidos: \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}=-0,5, \qquad \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx-0,7071.
  • Observa-se que -0,7071\approx\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) < \cos\theta\approx-0,665 < \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-0,5.
  • Como a função \cos é estritamente decrescente em [0,\pi], a desigualdade acima implica \frac{2\pi}{3}<\theta<\frac{3\pi}{4}.
Portanto \theta pertence ao intervalo aberto entre 2\pi/3 e 3\pi/4. Como as alternativas usam extremos com desigualdades do tipo 2\pi/3<\theta\le 3\pi/4, a nossa estimativa \theta<3\pi/4 e \theta>2\pi/3 encaixa nessa faixa.

Resposta

(F)

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