Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI. Com relação a uma matriz A 3 \times 3 que satisfizesse as condições abaixo,
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}:
(A) Pode-se afirmar que não existe tal A.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.
(C) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(D) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(E) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.
(F) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro o que está pedido e o que foi dado):
  • Temos \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é um conjunto linearmente dependente.
  • Temos \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é um conjunto linearmente independente.
  • Supõe-se a existência de uma matriz A de dimensão 3\times3 tal que
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
O que o enunciado pede é escolher entre as alternativas (A)–(F) qual é a correta sobre a existência dessa A e/ou sobre soluções do sistema A\vec{x}=\vec{b}.

Passo 2

Relembrando definições fundamentais (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Linearmente dependente (LD): um conjunto de vetores \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots\} é LD se existem escalares c_1,c_2,\dots, não todos nulos, tais que
c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\cdots = \vec{0}.
Isto é, há uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.
  • Linearmente independente (LI): um conjunto é LI se a única combinação linear que dá zero é a trivial, ou seja, se
c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\cdots = \vec{0}
implica necessariamente c_1=c_2=\cdots=0.
  • Matrizes e linearidade: uma matriz A representa uma transformação linear. Isso significa que, para quaisquer vetores e escalares,
A(\alpha \vec{u}+\beta \vec{v})=\alpha A\vec{u}+\beta A\vec{v}.
Essa propriedade nos permite “levar” combinações lineares através de A.

Passo 3

Usar a definição de LD para os vetores \vec{x}_1,\vec{x}_2,\vec{x}_3. Como esse conjunto é LD, existem escalares c_1,c_2,c_3, não todos zero, tais que
c_1\vec{x}_1+c_2\vec{x}_2+c_3\vec{x}_3=\vec{0}.
Esse é exatamente o conteúdo da dependência linear: pelo menos um dos c_i é diferente de zero.

Passo 4

Aplicar a matriz A à combinação linear acima. Pela linearidade de A temos
A\big(c_1\vec{x}_1+c_2\vec{x}_2+c_3\vec{x}_3\big)=c_1A\vec{x}_1+c_2A\vec{x}_2+c_3A\vec{x}_3.
Pelo enunciado A\vec{x}_i=\vec{b}_i. Substituindo obtemos
A\vec{0} = c_1\vec{b}_1+c_2\vec{b}_2+c_3\vec{b}_3.
Como A é linear, A\vec{0}=\vec{0}. Logo
c_1\vec{b}_1+c_2\vec{b}_2+c_3\vec{b}_3=\vec{0}.

Passo 5

Agora use a independência linear dos \vec{b}_i. Como \{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\} é LI, a igualdade
c_1\vec{b}_1+c_2\vec{b}_2+c_3\vec{b}_3=\vec{0}
implica necessariamente que
c_1=c_2=c_3=0.
Mas isso contradiz o fato do conjunto \{\vec{x}_1,\vec{x}_2,\vec{x}_3\} ser LD, que garantia a existência de escalares c_i não todos zero. Portanto chegamos a uma contradição.

Passo 6

A contradição mostra que a hipótese inicial — a existência de uma matriz A que satisfaça simultaneamente A\vec{x}_i=\vec{b}_i para i=1,2,3 — é impossível. Ou seja, não existe tal matriz A.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para ficar mais claro: na dimensão 2, se \vec{x}_2=2\vec{x}_1 (dependência) e se você quisesse uma matriz A com A\vec{x}_1=\vec{b}_1 e A\vec{x}_2=\vec{b}_2, então a linearidade exigiria \vec{b}_2=A\vec{x}_2=A(2\vec{x}_1)=2A\vec{x}_1=2\vec{b}_1. Assim \vec{b}_2 seria múltiplo de \vec{b}_1, o que contradiz a hipótese de que \vec{b}_1,\vec{b}_2 são LI. É a mesma ideia usada no caso geral.

Resposta

(A)

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