Q8: Sejam
um conjunto LD e
um conjunto LI. Com relação a uma matriz
que satisfizesse as condições abaixo,
(A) Pode-se afirmar que não existe tal
.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.
(C) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(D) Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja
.
(E) Pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores do vetor
, mas quando existe solução ela é única.
(F) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal
(C) Pode-se afirmar que
(D) Pode-se afirmar que
(E) Pode-se afirmar que
(F) Pode-se afirmar que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro o que está pedido e o que foi dado):
- Temos
que é um conjunto linearmente dependente. - Temos
que é um conjunto linearmente independente. - Supõe-se a existência de uma matriz
de dimensão tal que
O que o enunciado pede é escolher entre as alternativas (A)–(F) qual é a correta sobre a existência dessa
e/ou sobre soluções do sistema
.
Passo 2
Relembrando definições fundamentais (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Linearmente dependente (LD): um conjunto de vetores
é LD se existem escalares , não todos nulos, tais que
Isto é, há uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.
- Linearmente independente (LI): um conjunto é LI se a única combinação linear que dá zero é a trivial, ou seja, se
implica necessariamente
.
- Matrizes e linearidade: uma matriz
representa uma transformação linear. Isso significa que, para quaisquer vetores e escalares,
Essa propriedade nos permite “levar” combinações lineares através de
.
Passo 3
Usar a definição de LD para os vetores
. Como esse conjunto é LD, existem escalares
, não todos zero, tais que
Esse é exatamente o conteúdo da dependência linear: pelo menos um dos
é diferente de zero.
Passo 4
Aplicar a matriz
à combinação linear acima. Pela linearidade de
temos
Pelo enunciado
. Substituindo obtemos
Como
é linear,
. Logo
Passo 5
Agora use a independência linear dos
. Como
é LI, a igualdade
implica necessariamente que
Mas isso contradiz o fato do conjunto
ser LD, que garantia a existência de escalares
não todos zero. Portanto chegamos a uma contradição.
Passo 6
A contradição mostra que a hipótese inicial — a existência de uma matriz
que satisfaça simultaneamente
para
— é impossível. Ou seja, não existe tal matriz
.
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para ficar mais claro: na dimensão 2, se
(dependência) e se você quisesse uma matriz
com
e
, então a linearidade exigiria
. Assim
seria múltiplo de
, o que contradiz a hipótese de que
são LI. É a mesma ideia usada no caso geral.
Resposta
(A)