Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-1)=(1,-3,2) e T(3,-2)=(2,-4,6). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa dois valores:
T(1,-1)=(1,-3,2).
T(3,-2)=(2,-4,6).
O que é pedido:
Determinar a matriz A tal que T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}.
Especificamente, encontrar o valor da entrada a_{12} (linha 1, coluna 2) da matriz A.
Passo 2
Lembrete importante sobre transformações lineares e matrizes: se A é a matriz 3\times2 de T, escrevemos A=[\mathbf{c}_1\\ \mathbf{c}_2], onde
\mathbf{c}_1=T(1,0) é a primeira coluna (imagem de e_1),
\mathbf{c}_2=T(0,1) é a segunda coluna (imagem de e_2).
A linearidade de T significa, por exemplo, que para qualquer (x,y),