Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-1)=(1,-3,2) e T(3,-2)=(2,-4,6). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa dois valores:
  • T(1,-1)=(1,-3,2).
  • T(3,-2)=(2,-4,6).
O que é pedido:
  • Determinar a matriz A tal que T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}.
  • Especificamente, encontrar o valor da entrada a_{12} (linha 1, coluna 2) da matriz A.

Passo 2

Lembrete importante sobre transformações lineares e matrizes: se A é a matriz 3\times2 de T, escrevemos A=[\mathbf{c}_1\\ \mathbf{c}_2], onde
  • \mathbf{c}_1=T(1,0) é a primeira coluna (imagem de e_1),
  • \mathbf{c}_2=T(0,1) é a segunda coluna (imagem de e_2).
A linearidade de T significa, por exemplo, que para qualquer (x,y),
T(x,y)=x\,\mathbf{c}_1+y\,\mathbf{c}_2.
Em particular:
T(1,-1)=\mathbf{c}_1-\mathbf{c}_2, \qquad T(3,-2)=3\mathbf{c}_1-2\mathbf{c}_2.

Passo 3

Usando os dados do enunciado, escrevemos duas equações vetoriais (cada uma com três componentes). Denotando
\mathbf{v}_1=T(1,-1)=(1,-3,2), \qquad \mathbf{v}_2=T(3,-2)=(2,-4,6),
temos:
\mathbf{c}_1-\mathbf{c}_2=\mathbf{v}_1, \tag{1}
3\mathbf{c}_1-2\mathbf{c}_2=\mathbf{v}_2. \tag{2}

Passo 4

Vamos resolver o sistema vetorial. Da equação (1) isolamos \mathbf{c}_1:
\mathbf{c}_1=\mathbf{v}_1+\mathbf{c}_2.
Substituindo na equação (2):
3(\mathbf{v}_1+\mathbf{c}_2)-2\mathbf{c}_2=\mathbf{v}_2
3\mathbf{v}_1+3\mathbf{c}_2-2\mathbf{c}_2=\mathbf{v}_2
3\mathbf{v}_1+\mathbf{c}_2=\mathbf{v}_2.
Logo
\mathbf{c}_2=\mathbf{v}_2-3\mathbf{v}_1.

Passo 5

Calculemos passo a passo os vetores numéricos. Primeiro 3\mathbf{v}_1:
3\mathbf{v}_1=3(1,-3,2)=(3,-9,6).
Agora
\mathbf{c}_2=\mathbf{v}_2-3\mathbf{v}_1=(2,-4,6)-(3,-9,6).
Subtraindo componente a componente:
\mathbf{c}_2=(2-3,\\\ -4-(-9),\\\ 6-6)=(-1,5,0).

Passo 6

Agora voltamos para \mathbf{c}_1=\mathbf{v}_1+\mathbf{c}_2:
\mathbf{c}_1=(1,-3,2)+(-1,5,0)=(0,2,2).

Passo 7

Montamos a matriz A com colunas \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2:
A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\[4pt] 2 & 5\\[4pt] 2 & 0 \end{bmatrix}.
A entrada a_{12} é o elemento da primeira linha e segunda coluna, que é -1.]

Passo 8

Verificação rápida (checar que satisfaz os dados):
A\begin{bmatrix}1\\\ -1\end{bmatrix}=\mathbf{c}_1-\mathbf{c}_2=(0,2,2)-(-1,5,0)=(1,-3,2),
A\begin{bmatrix}3\\\ -2\end{bmatrix}=3\mathbf{c}_1-2\mathbf{c}_2=3(0,2,2)-2(-1,5,0)=(0,6,6)-(-2,10,0)=(2,-4,6).
As igualdades conferem com os dados do enunciado.

Resposta

(H) -1

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