Q10: O sistema M \vec{x}=\overrightarrow{0} sempre terá infinitas soluções se:
(A) M tiver o mesmo número de linhas e colunas.
(B) M tiver mais colunas do que linhas.
(C) M tiver mais linhas do que colunas.
(D) As colunas de M formarem um conjunto linearmente independente.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pede: decidir qual das alternativas (A) a (E) garante que o sistema homogêneo M\vec{x}=\overrightarrow{0} sempre terá infinitas soluções. As alternativas são:
(A) M tiver o mesmo número de linhas e colunas.
(B) M tiver mais colunas do que linhas.
(C) M tiver mais linhas do que colunas.
(D) As colunas de M formarem um conjunto linearmente independente.
(E) Não sei
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O sistema é homogêneo: M\vec{x}=\overrightarrow{0}.
A incógnita é o vetor \vec{x} com dimensão igual ao número de colunas de M.
A pergunta é sobre quando o sistema terá infinitas soluções em todos os casos que satisfazem a alternativa escolhida (ou seja, “sempre terá infinitas soluções se…”).
Passo 2
Primeiro, entender o que um sistema homogêneo sempre tem: qualquer sistema M\vec{x}=\overrightarrow{0} tem pelo menos a solução trivial \vec{x}=\overrightarrow{0}. “Infinitas soluções” significa que, além da trivial, existem infinitas soluções distintas (ou seja, o espaço solução tem dimensão positiva).
Explicando de forma bem intuitiva: as soluções de M\vec{x}=\overrightarrow{0} formam o núcleo (kernel) da transformação linear associada a M. Se esse núcleo tiver dimensão zero, só existe a solução trivial; se tiver dimensão \ge 1, então existe uma família infinita de soluções (um subespaço não trivial tem infinitos vetores).
Passo 3
Vamos introduzir notação para raciocinar com calma. Seja M uma matriz m\times n, ou seja:
m = número de linhas (equações),
n = número de colunas (incógnitas / componentes de \vec{x}).
Defina r=\operatorname{rank}(M), o posto de M. O posto é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes em M. Intuitivamente, r é quantas restrições “independentes” as equações impõem às incógnitas.
Duas propriedades importantes (que vou explicar em seguida) são:
r \le \min(m,n)
e a relação entre posto e dimensão do núcleo:
\dim(\ker M)=n-r.
Passo 4
Explicar a fórmula \dim(\ker M)=n-r (Teorema do posto-nulidade) de forma simples:
Em um sistema linear, quando se elimina por escalonamento, cada pivô corresponde a uma variável “liderada” (dependente) e cada coluna sem pivô corresponde a uma variável livre.
O número de variáveis livres é exatamente n-r (porque há n variáveis e r pivôs).
As variáveis livres parametram o espaço das soluções; portanto a dimensão do espaço solução (núcleo) é n-r.
Se n-r=0, não há variáveis livres e só existe a solução trivial. Se n-r\ge 1, há pelo menos uma variável livre e portanto infinitas soluções (pois um subespaço de dimensão \ge 1 tem infinitos vetores).
Exemplo pequeno para fixar: se n=3 e r=2, então \dim(\ker M)=1 e as soluções formam uma reta passando pela origem — infinitas soluções.
Passo 5
Analisar a alternativa (B): " M tiver mais colunas do que linhas."
Isto significa n>m. Como r\le \min(m,n)=m, temos r\le m. Mas como m<n, segue que r\le m < n. Então r<n, e portanto
\dim(\ker M)=n-r \ge n-m \ge 1,
ou seja, a nulidade é pelo menos 1. Logo sempre existe pelo menos uma variável livre e o núcleo tem dimensão positiva, o que implica que o sistema homogêneo tem infinitas soluções. Conclusão: a alternativa (B) garante sempre infinitas soluções.
Passo 6
Agora mostrar por que as outras alternativas não garantem infinitas soluções (dou contra-exemplos simples), para deixar claro que apenas (B) é correta.
Alternativa (A): " M tiver o mesmo número de linhas e colunas."
Isto é m=n (matriz quadrada). Se M for invertível (posto r=n), então \dim(\ker M)=n-r=0 e o sistema só tem a solução trivial. Exemplo concreto: M=I_n (matriz identidade n\times n). Então I_n\vec{x}=\vec{0} implica \vec{x}=\vec{0} única solução. Logo (A) não garante infinitas soluções.
Alternativa (C): " M tiver mais linhas do que colunas."
Isto é m>n. Nesse caso o posto pode ser r=n (as colunas podem ser linearmente independentes), e então \dim(\ker M)=n-r=0, ou seja, apenas a solução trivial. Exemplo: para m=3,n=2 a matriz
tem posto r=2=n, então só \vec{x}=\vec{0} resolve M\vec{x}=\vec{0}. Logo (C) não garante infinitas soluções.
Alternativa (D): “As colunas de M formarem um conjunto linearmente independente.”
Se as colunas são linearmente independentes então r=n. Assim \dim(\ker M)=n-r=0: somente a solução trivial existe. Portanto (D) garante exatamente o oposto: nenhuma solução não-trivial. Logo (D) é falsa para a afirmativa pedida.]
Passo 7
Resumo do raciocínio principal, de forma direta e prática:
As soluções do homogêneo vêm do núcleo de M com dimensão n-r.
Para garantir infinitas soluções para todo M com certa propriedade, essa propriedade tem de implicar que r<n.
A condição n>m (mais colunas do que linhas) força r\le m<n, logo sempre r<n e \dim(\ker M)\ge 1, garantindo infinitas soluções.
Nenhuma das outras alternativas garante que r<n em todos os casos.
Passo 8
Pequena checagem numérica-exemplificativa (pra você visualizar na prova):
Escolha m=2 e n=3. Um exemplo simples é
Solução de M\vec{x}=\vec{0} dá x_1=0,\\ x_2=0 e x_3 livre. Então as soluções são \{(0,0,t)^\top \mid t\in\mathbb{R}\}, que é infinito. Isso ilustra o caso (B).]