Q13: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto dos vetores com a terceira entrada maior ou igual a segunda não é um subespaço vetorial do
. II - O conjunto dos vetores com as três últimas entradas iguais a zero é um subespaço vetorial do
.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - O conjunto dos vetores com a terceira entrada maior ou igual a segunda não é um subespaço vetorial do
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá duas afirmativas sobre subconjuntos de
. Vou listar exatamente o que cada uma diz e o que é pedido.
-
Afirmativa I: “O conjunto dos vetores com a terceira entrada maior ou igual à segunda não é um subespaço vetorial de
.” - Isso descreve o conjunto
.
- Isso descreve o conjunto
-
Afirmativa II: “O conjunto dos vetores com as três últimas entradas iguais a zero é um subespaço vetorial do
.” - Isso descreve o conjunto
(as “três últimas entradas” em são as coordenadas ).
- Isso descreve o conjunto
O que o enunciado pede: dizer quais das afirmativas I e II são verdadeiras (escolher a alternativa correta).
Passo 2
Lembrete da definição de subespaço vetorial (fórmula e ideia passo a passo):
- Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se as três condições seguintes ocorrerem: -
não é vazio (equivalente a dizer que o vetor zero pertence a ); -
é fechado sob adição: se e então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
-
Explicando: a terceira condição (multiplicação escalar) exige que qualquer escala real aplicada a um vetor do conjunto produza um vetor ainda dentro do conjunto — isso vale para
positivo, zero e negativo. Esses três itens são suficientes e fáceis de checar em provas rápidas: normalmente verifica-se se o zero está lá e procura-se um contraexemplo para adição ou escala, se existir.
Passo 3
Análise da afirmativa I (conjunto
).
-
Verificação do vetor zero:
satisfaz , logo . Então a condição (1) está ok. -
Verificação da multiplicação escalar (a mais crítica aqui). Vou apresentar um contraexemplo explícito que quebra a condição (3):Considere
. Então Logo. Agora tome o escalar. Então Paratemos e . Mas é falso, logo . -
Conclusão para
: falha a condição de fechamento sob multiplicação por escalares (a desigualdade não é preservada quando o escalar é negativo). Portanto NÃO é subespaço vetorial. Assim a afirmativa I, que diz que “não é subespaço”, é correta? Atenção: a afirmativa I afirma justamente que o conjunto “não é um subespaço”. Como acabamos de mostrar que realmente não é subespaço, a conclusão é que a afirmação I é verdadeira. (Importante notar: mostrei que não é subespaço, então a frase “o conjunto … não é subespaço” é verdadeira.)
Passo 4
Análise da afirmativa II (conjunto
).
- Verificação do vetor zero:
tem as últimas três coordenadas , logo . A condição (1) está satisfeita. - Verificação da adição: sejam
e . Então e . As últimas três coordenadas de são
Logo
. Portanto fechado sob adição.
- Verificação da multiplicação escalar: seja
e com . As últimas três coordenadas de são
Logo
. Portanto fechado sob multiplicação escalar.
- Conclusão para
: as três propriedades exigidas para subespaço são satisfeitas, então é de fato um subespaço vetorial. Assim a afirmativa II — que afirma exatamente isso — é verdadeira.
Passo 5
Resumo lógico das duas afirmativas com base nas verificações:
- I: o conjunto
NÃO é subespaço. A afirmativa I diz “não é um subespaço”, portanto I é verdadeira. - II: o conjunto
é um subespaço. A afirmativa II diz isso, portanto II é verdadeira.
Ambas as afirmativas I e II são verdadeiras.
Resposta
(C) Todas são verdadeiras.