Q13: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto dos vetores com a terceira entrada maior ou igual a segunda não é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{8}. II - O conjunto dos vetores com as três últimas entradas iguais a zero é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{8}.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá duas afirmativas sobre subconjuntos de \mathbb{R}^{8}. Vou listar exatamente o que cada uma diz e o que é pedido.
  • Afirmativa I: “O conjunto dos vetores com a terceira entrada maior ou igual à segunda não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{8}.”
    • Isso descreve o conjunto \displaystyle S_1=\{v=(v_1,\dots,v_8)\in\mathbb{R}^8 \mid v_3 \ge v_2\}.
  • Afirmativa II: “O conjunto dos vetores com as três últimas entradas iguais a zero é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{8}.”
    • Isso descreve o conjunto \displaystyle S_2=\{v=(v_1,\dots,v_8)\in\mathbb{R}^8 \mid v_6=v_7=v_8=0\} (as “três últimas entradas” em \mathbb{R}^8 são as coordenadas 6,7,8).
O que o enunciado pede: dizer quais das afirmativas I e II são verdadeiras (escolher a alternativa correta).

Passo 2

Lembrete da definição de subespaço vetorial (fórmula e ideia passo a passo):
  • Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^8 é subespaço vetorial se e somente se as três condições seguintes ocorrerem:
    1. W não é vazio (equivalente a dizer que o vetor zero \mathbf{0}=(0,\dots,0) pertence a W);
    2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u \in W.
Explicando: a terceira condição (multiplicação escalar) exige que qualquer escala real aplicada a um vetor do conjunto produza um vetor ainda dentro do conjunto — isso vale para \alpha positivo, zero e negativo. Esses três itens são suficientes e fáceis de checar em provas rápidas: normalmente verifica-se se o zero está lá e procura-se um contraexemplo para adição ou escala, se existir.

Passo 3

Análise da afirmativa I (conjunto \displaystyle S_1=\{v\in\mathbb{R}^8 \mid v_3\ge v_2\}).
  • Verificação do vetor zero: \mathbf{0}=(0,\dots,0) satisfaz 0\ge 0, logo \mathbf{0}\in S_1. Então a condição (1) está ok.
  • Verificação da multiplicação escalar (a mais crítica aqui). Vou apresentar um contraexemplo explícito que quebra a condição (3):
    Considere u=(0,1,2,0,0,0,0,0). Então
    u_2=1,\qquad u_3=2,\qquad\text{e } u_3\ge u_2\text{ (pois }2\ge1\text{)}.
    Logo u\in S_1.
    Agora tome o escalar \alpha=-1. Então
    \alpha u = -u = (0,-1,-2,0,0,0,0,0).
    Para -u temos (\alpha u)_2=-1 e (\alpha u)_3=-2. Mas -2\ge -1 é falso, logo \alpha u\notin S_1.
  • Conclusão para S_1: falha a condição de fechamento sob multiplicação por escalares (a desigualdade \ge não é preservada quando o escalar é negativo). Portanto S_1 NÃO é subespaço vetorial. Assim a afirmativa I, que diz que “não é subespaço”, é correta? Atenção: a afirmativa I afirma justamente que o conjunto “não é um subespaço”. Como acabamos de mostrar que realmente não é subespaço, a conclusão é que a afirmação I é verdadeira. (Importante notar: mostrei que S_1 não é subespaço, então a frase “o conjunto … não é subespaço” é verdadeira.)

Passo 4

Análise da afirmativa II (conjunto \displaystyle S_2=\{v\in\mathbb{R}^8 \mid v_6=v_7=v_8=0\}).
  • Verificação do vetor zero: \mathbf{0}=(0,\dots,0) tem as últimas três coordenadas 0,0,0, logo \mathbf{0}\in S_2. A condição (1) está satisfeita.
  • Verificação da adição: sejam u=(u_1,\dots,u_8)\in S_2 e v=(v_1,\dots,v_8)\in S_2. Então u_6=u_7=u_8=0 e v_6=v_7=v_8=0. As últimas três coordenadas de u+v são (u+v)_6 = u_6+v_6 = 0+0 = 0,
(u+v)_7 = u_7+v_7 = 0+0 = 0,
(u+v)_8 = u_8+v_8 = 0+0 = 0.
Logo u+v\in S_2. Portanto fechado sob adição.
  • Verificação da multiplicação escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e u\in S_2 com u_6=u_7=u_8=0. As últimas três coordenadas de \alpha u são (\alpha u)_6 = \alpha u_6 = \alpha\cdot 0 = 0,
(\alpha u)_7 = \alpha u_7 = 0,\qquad (\alpha u)_8 = \alpha u_8 = 0.
Logo \alpha u\in S_2. Portanto fechado sob multiplicação escalar.
  • Conclusão para S_2: as três propriedades exigidas para subespaço são satisfeitas, então S_2 é de fato um subespaço vetorial. Assim a afirmativa II — que afirma exatamente isso — é verdadeira.

Passo 5

Resumo lógico das duas afirmativas com base nas verificações:
  • I: o conjunto S_1=\{v\in\mathbb{R}^8\mid v_3\ge v_2\} NÃO é subespaço. A afirmativa I diz “não é um subespaço”, portanto I é verdadeira.
  • II: o conjunto S_2=\{v\in\mathbb{R}^8\mid v_6=v_7=v_8=0\} é um subespaço. A afirmativa II diz isso, portanto II é verdadeira.
Ambas as afirmativas I e II são verdadeiras.

Resposta

(C) Todas são verdadeiras.

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