Q12: Pode ter como conjunto-solução uma reta um sistema linear com:
(A) 1 equação em
(B) 4 equações em
(C) 6 equações em
(D) 5 equações em
(E) Não sei
(A) 1 equação em
(B) 4 equações em
(C) 6 equações em
(D) 5 equações em
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pergunta qual dos sistemas lineares listados pode ter como conjunto- solução uma reta. As informações dadas (peguei do enunciado) são:
- O espaço das incógnitas é
, ou seja, variáveis. - As alternativas indicam números de equações
: - (A)
- (B)
- (C)
- (D)
- (E) Não sei
O que se pede: decidir qual desses valores depermite que o conjunto- solução do sistema seja uma reta (um subespaço afim de dimensão ).
- (A)
Passo 2
Conceitos fundamentais (explicação didática, sem pular etapas).
- Pense em um sistema linear
, com matricial de e . - A solução (quando existe) é um subespaço afim cujo espaço de direções é o núcleo (kernel) da transformação linear associada à matriz
. - A dimensão do núcleo é chamada nulidade e vale, pelo teorema da dimensão (teorema do posto-nulidade),
Aqui
é o número de linhas/colunas linearmente independentes da matriz (também chamado de rank).
- Se o sistema for homogêneo (
), o conjunto-sol é precisamente o núcleo e sua dimensão é a nulidade. Se for não homogêneo, quando é compatível a dimensão do conjunto-sol é igual à nulidade (pois é um subespaço afim paralelo ao núcleo). - Portanto, para que o conjunto-sol seja uma reta (dimensão
), precisamos que
Como
, isso significa
.
Passo 3
Limitação prática sobre o posto.
- O posto de
satisfaz . - Para obter
é necessário ter , ou seja, precisamos que . - Conclusão imediata: se
então , logo não é possível ter e, consequentemente, a nulidade não pode ser .
Passo 4
Aplicação às alternativas (mostrar por que cada uma é possível ou impossível).
- (A)
. Aqui . Então . A dimensão do conjunto-sol é pelo menos , portanto NÃO pode ser . - (B)
. Aqui . Então . A dimensão do conjunto-sol é pelo menos , portanto NÃO pode ser . - (D)
. Aqui . Então . A dimensão do conjunto-sol é pelo menos , portanto NÃO pode ser . - (C)
. Aqui , mas é possível ter . Se existir uma matriz com e o sistema for compatível (escolhendo adequado), então
ou seja, o conjunto-sol terá dimensão
— uma reta. Portanto
é compatível com a existência de conjunto-sol que seja uma reta.
Passo 5
Construir um exemplo explícito para
- Esta é uma forma explícita: a matriz
identidade e a sétima coluna nula, logo
. - As soluções são todos os vetores da forma
que é exatamente uma reta (o eixo correspondente à variável
). O sistema é compatível e o conjunto-sol tem dimensão
.
- Assim demonstrou-se que para
existe um sistema cuja solução é uma reta.
Passo 6
Resumo e conclusão lógica final.
- Para que o conjunto-sol seja uma reta precisamos de
. - Isso exige
. Das alternativas dadas, apenas satisfaz essa condição. - As alternativas com
não permitem posto e, portanto, não podem produzir conjunto-sol de dimensão .
Resposta
(C)