Q12: Pode ter como conjunto-solução uma reta um sistema linear com:
(A) 1 equação em \mathbb{R}^{7}
(B) 4 equações em \mathbb{R}^{7}
(C) 6 equações em \mathbb{R}^{7}
(D) 5 equações em \mathbb{R}^{7}
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pergunta qual dos sistemas lineares listados pode ter como conjunto- solução uma reta. As informações dadas (peguei do enunciado) são:
  • O espaço das incógnitas é \mathbb{R}^{7}, ou seja, n=7 variáveis.
  • As alternativas indicam números de equações m:
    • (A) m=1
    • (B) m=4
    • (C) m=6
    • (D) m=5
    • (E) Não sei
      O que se pede: decidir qual desses valores de m permite que o conjunto- solução do sistema seja uma reta (um subespaço afim de dimensão 1).

Passo 2

Conceitos fundamentais (explicação didática, sem pular etapas).
  • Pense em um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b}, com A matricial de m\times n e n=7.
  • A solução (quando existe) é um subespaço afim cujo espaço de direções é o núcleo (kernel) da transformação linear associada à matriz A.
  • A dimensão do núcleo é chamada nulidade e vale, pelo teorema da dimensão (teorema do posto-nulidade),
\text{nulidade} = n - \text{posto}(A).
Aqui \text{posto}(A) é o número de linhas/colunas linearmente independentes da matriz (também chamado de rank).
  • Se o sistema for homogêneo ( \mathbf{b}=\mathbf{0}), o conjunto-sol é precisamente o núcleo e sua dimensão é a nulidade. Se for não homogêneo, quando é compatível a dimensão do conjunto-sol é igual à nulidade (pois é um subespaço afim paralelo ao núcleo).
  • Portanto, para que o conjunto-sol seja uma reta (dimensão 1), precisamos que
\text{nulidade}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{posto}(A)=n-1.
Como n=7, isso significa \text{posto}(A)=6.

Passo 3

Limitação prática sobre o posto.
  • O posto de A satisfaz \text{posto}(A)\le \min(m,n).
  • Para obter \text{posto}(A)=6 é necessário ter \min(m,7)\ge6, ou seja, precisamos que m\ge6.
  • Conclusão imediata: se m<6 então \text{posto}(A)\le m<6, logo não é possível ter \text{posto}(A)=6 e, consequentemente, a nulidade não pode ser 1.

Passo 4

Aplicação às alternativas (mostrar por que cada uma é possível ou impossível).
  • (A) m=1. Aqui \text{posto}(A)\le1. Então \text{nulidade}=7-\text{posto}(A)\ge7-1=6. A dimensão do conjunto-sol é pelo menos 6, portanto NÃO pode ser 1.
  • (B) m=4. Aqui \text{posto}(A)\le4. Então \text{nulidade}\ge7-4=3. A dimensão do conjunto-sol é pelo menos 3, portanto NÃO pode ser 1.
  • (D) m=5. Aqui \text{posto}(A)\le5. Então \text{nulidade}\ge7-5=2. A dimensão do conjunto-sol é pelo menos 2, portanto NÃO pode ser 1.
  • (C) m=6. Aqui \text{posto}(A)\le6, mas é possível ter \text{posto}(A)=6. Se existir uma matriz A com \text{posto}(A)=6 e o sistema for compatível (escolhendo \mathbf{b} adequado), então
\text{nulidade}=7-6=1,
ou seja, o conjunto-sol terá dimensão 1 — uma reta. Portanto m=6 é compatível com a existência de conjunto-sol que seja uma reta.

Passo 5

Construir um exemplo explícito para m=6\) (para ficar bem concreto). - Considere variáveis \((x_1,\dots,x_7)\in\mathbb{R}^7\) e o sistema de seis equações \[\begin{cases} x_1=0,\\\ x_2=0,\\\ x_3=0,\\\ x_4=0,\\\ x_5=0,\\\ x_6=0. \end{cases}
  • Esta é uma forma explícita: a matriz A\] tem as seis primeiras colunas formando a \(6\times6 identidade e a sétima coluna nula, logo \text{posto}(A)=6.
  • As soluções são todos os vetores da forma
(0,0,0,0,0,0,t),\quad t\in\mathbb{R},
que é exatamente uma reta (o eixo correspondente à variável x_7). O sistema é compatível e o conjunto-sol tem dimensão 1.
  • Assim demonstrou-se que para m=6 existe um sistema cuja solução é uma reta.

Passo 6

Resumo e conclusão lógica final.
  • Para que o conjunto-sol seja uma reta precisamos de \text{posto}(A)=6.
  • Isso exige m\ge6. Das alternativas dadas, apenas m=6 satisfaz essa condição.
  • As alternativas com m<6 não permitem posto 6 e, portanto, não podem produzir conjunto-sol de dimensão 1.

Resposta

(C)

Exercícios relacionados