Q1: A função ln x, o logaritmo natural de x, pode ser definida como:
\ln x=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t
Sabendo que \ln 2 \approx 0.693, assinale a aproximação linear de \ln 2.05 :
(A) 0.723
(B) 0.707
(C)
0.718
(D) 0.698
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a definição
\ln x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt
e informa que \ln 2\approx0,693. Pede-se a aproximação linear de \ln 2,05 (ou seja, usar a linearização/tangente para estimar \ln 2,05) e escolher entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

A ideia da aproximação linear (tangente) é usar a reta tangente a f(x)=\ln x num ponto a próximo do valor desejado. A fórmula da linearização em torno de a é
L(x)=f(a)+f'(a)(x-a),
onde f'(a) é a derivada de f em a. Aqui f(x)=\ln x, portanto a derivada é
f'(x)=\frac{1}{x}.
Explicando: f'(x) é a inclinação da curva em x; para \ln x ela vale \dfrac{1}{x}, então a inclinação no ponto a é \dfrac{1}{a}.

Passo 3

Escolhe-se a=2 porque 2 é bem próximo de 2,05 e já nos foi dado \ln 2. Assim vamos usar
L(x)=\ln 2+\frac{1}{2}(x-2).

Passo 4

Calcular a diferença x-2 para x=2,05:
2,05-2=0,05.
A inclinação em a=2 é
f'(2)=\frac{1}{2}=0,5.
O incremento aproximado dado pela tangente é
f'(2)\,(2,05-2)=0,5\times0,05=0,025.

Passo 5

Somando ao valor conhecido \ln 2:
L(2,05)=\ln 2 + 0,025 \approx 0,693 + 0,025 = 0,718.
Portanto a aproximação linear de \ln 2,05 é 0,718.

Passo 6

Comentário sobre erro (para segurança): como f''(x)=-1/x^{2}<0, a função \ln x é côncava, então a reta tangente em 2 fica um pouco acima do gráfico e a aproximação linear superestima ligeiramente o valor real. Isso confirma que a resposta 0,718 é uma boa aproximação ligeiramente maior que o valor exato.

Resposta

(C) 0,718

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