Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto das matrizes A_{3 \times 3} onde a_{22}=-a_{33}\left(a_{i j}\right. é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
III - O conjunto \{(1,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas II e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três conjuntos e pede para checar se cada um é subespaço vetorial, usando o critério de conter o vetor zero, fechar em soma e multiplicação escalar, ou reconhecer como núcleo de aplicação linear:
I – \{A\in M_{3\times3}(\mathbb{R})\mid a_{22}=-a_{33}\}
II – conjunto-solução de um sistema homogêneo Ax=0
III – \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^4

Passo 2

Para I, defina a aplicação linear
L\colon M_{3\times3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R},\quad L(A)=a_{22}+a_{33}.
O conjunto dado é
\{A\mid a_{22}=-a_{33}\}=\{A\mid L(A)=0\}=\ker(L),
e o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Para II, o conjunto-solução de Ax=0 é exatamente
\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=0\}=\ker(A),
onde A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m é linear. O núcleo de uma aplicação linear é subespaço. Logo, II é verdadeira.

Passo 4

Para III, o conjunto \{(1,1,1,1)\} não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação escalar (por exemplo, 2\cdot(1,1,1,1)\notin\{(1,1,1,1)\}). Portanto III não é subespaço.

Passo 5

Concluímos que apenas I e II são subespaços vetoriais.

Resposta

(A) Apenas I e II são verdadeiras.

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