Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto das matrizes
onde
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
II - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
III - O conjunto
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas II e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.
I - O conjunto das matrizes
II - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
III - O conjunto
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas II e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta três conjuntos e pede para checar se cada um é subespaço vetorial, usando o critério de conter o vetor zero, fechar em soma e multiplicação escalar, ou reconhecer como núcleo de aplicação linear:
I –
II – conjunto-solução de um sistema homogêneo
III –
I –
II – conjunto-solução de um sistema homogêneo
III –
Passo 2
Para I, defina a aplicação linear
O conjunto dado é
e o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço. Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Para II, o conjunto-solução de
é exatamente
onde
é linear. O núcleo de uma aplicação linear é subespaço. Logo, II é verdadeira.
Passo 4
Para III, o conjunto
não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação escalar (por exemplo,
). Portanto III não é subespaço.
Passo 5
Concluímos que apenas I e II são subespaços vetoriais.
Resposta
(A) Apenas I e II são verdadeiras.