Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II. O conjunto \{(1,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial. III. O conjunto das matrizes A_{3 \times 3} onde a_{22}=-a_{33} ( a_{i j} é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas e pede que identifiquemos quais são verdadeiras:
I. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II. O conjunto \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
III. O conjunto das matrizes A_{3\times3} onde a_{22}=-a_{33} (sendo a_{ij} a entrada da linha i, coluna j de A) é um subespaço vetorial.
Também são fornecidas as alternativas de resposta (A)–(H). O objetivo é decidir quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras.

Passo 2

Lembrete (definição e critério prático). Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se:
  1. W contém o vetor zero (ou equivalentemente é não-vazio);
  2. W é fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Uma forma compacta: verificar que 0\in W, e que para quaisquer u,v\in W e qualquer \lambda\in\mathbb{R} vale u+v\in W e \lambda u\in W. Vou usar esse critério passo a passo nas afirmativas.

Passo 3

Analisando I: “O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.”
Seja A uma matriz m\times n e considere o sistema homogêneo A x = 0. O conjunto-solução é
S=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid A x = 0\}.
Verificações:
  • Zero: A0=0, logo 0\in S.
  • Soma: se x,y\in S então A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0, logo x+y\in S.
  • Multiplicação escalar: se x\in S e \lambda\in\mathbb{R} então A(\lambda x)=\lambda(Ax)=\lambda 0=0, logo \lambda x\in S.
Portanto S satisfaz os três critérios e é subespaço. Observação didática: outra maneira de ver isso é notar que S é o núcleo ( \ker) da transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m dada por T(x)=Ax; núcleos de aplicações lineares são sempre subespaços. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Analisando II: " \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial."
Denote v=(1,1,1,1) e W=\{v\}. Verificações:
  • Zero: o vetor zero em \mathbb{R}^4 é 0=(0,0,0,0). Note que 0\not= v, portanto 0\notin W. Isso já basta para concluir que W não é subespaço.
  • Para ilustrar a falha na propriedade de multiplicação escalar: tome \lambda=0. Então \lambda v = 0\cdot v = 0\notin W. Logo W não é fechado sob multiplicação escalar.
Observação didática: um singleton \{u\} é subespaço apenas se u=0. Caso contrário sempre falha porque 0\cdot u=0 não está no singleton. Conclusão: a afirmativa II é falsa.

Passo 5

Analisando III: “O conjunto das matrizes A_{3\times3} onde a_{22}=-a_{33} é um subespaço vetorial.”
Defina
S=\{A\in M_{3\times3}(\mathbb{R}) \mid a_{22} = -a_{33}\}.
Verificações:
  • Zero: a matriz zero 0_{3\times3} tem a_{22}=0 e a_{33}=0, e 0 = -0 é verdadeiro. Logo 0_{3\times3}\in S.
  • Soma: sejam A,B\in S. Então A tem a_{22}=-a_{33} e B tem b_{22}=-b_{33}. Na matriz A+B a entrada (2,2) é a_{22}+b_{22} e a entrada (3,3) é a_{33}+b_{33}. Então
(a_{22}+b_{22}) = -(a_{33}+b_{33})
porque a_{22}=-a_{33} e b_{22}=-b_{33}. Logo A+B\in S.
  • Multiplicação escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e A\in S. Na matriz \lambda A a entrada (2,2) é \lambda a_{22} e a (3,3) é \lambda a_{33}. Como a_{22}=-a_{33}, tem-se \lambda a_{22} = -\lambda a_{33}. Logo \lambda A\in S.
Portanto S contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumindo os resultados:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
Portanto as afirmativas verdadeiras são I e III.

Resposta

(C) Só I e III são verdadeiras.

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