Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II. O conjunto
é um subespaço vetorial. III. O conjunto das matrizes
onde
(
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
I. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II. O conjunto
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas e pede que identifiquemos quais são verdadeiras:
I. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II. O conjunto é um subespaço vetorial.
III. O conjunto das matrizes onde
(sendo
a entrada da linha
, coluna
de
) é um subespaço vetorial.
I. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II. O conjunto
III. O conjunto das matrizes
Também são fornecidas as alternativas de resposta (A)–(H). O objetivo é decidir quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Passo 2
Lembrete (definição e critério prático). Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se e somente se:
-
contém o vetor zero (ou equivalentemente é não-vazio); -
é fechado sob soma: se então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Uma forma compacta: verificar que
, e que para quaisquer
e qualquer
vale
e
. Vou usar esse critério passo a passo nas afirmativas.
Passo 3
Analisando I: “O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.”
Seja
uma matriz
e considere o sistema homogêneo
. O conjunto-solução é
Verificações:
- Zero:
, logo . - Soma: se
então , logo . - Multiplicação escalar: se
e então , logo .
Portanto
satisfaz os três critérios e é subespaço. Observação didática: outra maneira de ver isso é notar que
é o núcleo (
) da transformação linear
dada por
; núcleos de aplicações lineares são sempre subespaços. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Analisando II: "
é um subespaço vetorial."
Denote
e
. Verificações:
- Zero: o vetor zero em
é . Note que , portanto . Isso já basta para concluir que não é subespaço. - Para ilustrar a falha na propriedade de multiplicação escalar: tome
. Então . Logo não é fechado sob multiplicação escalar.
Observação didática: um singleton
é subespaço apenas se
. Caso contrário sempre falha porque
não está no singleton. Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Passo 5
Analisando III: “O conjunto das matrizes
onde
é um subespaço vetorial.”
Defina
Verificações:
- Zero: a matriz zero
tem e , e é verdadeiro. Logo . - Soma: sejam
. Então tem e tem . Na matriz a entrada é e a entrada é . Então
porque
e
. Logo
.
- Multiplicação escalar: seja
e . Na matriz a entrada é e a é . Como , tem-se . Logo .
Portanto
contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumindo os resultados:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Portanto as afirmativas verdadeiras são I e III.
Resposta
(C) Só I e III são verdadeiras.