Exercício 7. Seja A uma matriz 5 \times 5. Se \operatorname{det}(A)=-3, calcule:
\operatorname{det}\left(A^{t}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem 5\times5 e informa que \operatorname{det}(A)=-3. Pede-se para calcular \operatorname{det}\left(A^{t}\right), onde A^{t} é a transposta de A.
Informações relevantes:
  • Matriz A é 5\times5.
  • \operatorname{det}(A) = -3.
  • Queremos \operatorname{det}\!\left(A^{t}\right).

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é a transposta: a transposta A^{t} é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de entradas, se A=(a_{ij}) então A^{t}=(a_{ji}).
Agora, precisamos de uma propriedade fundamental dos determinantes: a transposição troca linhas por colunas, e o determinante tratado como função das colunas tem as mesmas regras (multilinearidade e alternância) que quando é tratado como função das linhas. A consequência prática é que a transposição não altera o valor do determinante. Vamos demonstrar isso de forma direta e elementar.

Passo 3

Usaremos a fórmula por permutações para o determinante. Para uma matriz n\times n (aqui n=5, mas a demonstração vale para todo n) vale:
\operatorname{det}(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)},
onde S_n é o grupo de permutações de \{1,\dots,n\} e \operatorname{sgn}(\sigma) é o sinal da permutação \sigma.
Agora escrevemos o determinante da transposta usando a mesma fórmula, trocando a_{ij} por a_{ji}:
\operatorname{det}\!\left(A^{t}\right)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),i}.
Fazemos uma mudança de índice para mostrar que essa soma coincide com a anterior. Seja \tau=\sigma^{-1}. Como a inversa preserva o sinal, temos \operatorname{sgn}(\sigma)=\operatorname{sgn}(\tau). Além disso, ao trocar a variável de soma:
\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),i}=\prod_{i=1}^{n} a_{\tau^{-1}(i),i}.
fazendo a substituição j=\tau^{-1}(i) (isto é, i=\tau(j)) obtemos
\prod_{i=1}^{n} a_{\tau^{-1}(i),i}=\prod_{j=1}^{n} a_{j,\tau(j)}.
Portanto, ao reindexar a soma por \tau em vez de \sigma,
\operatorname{det}\!\left(A^{t}\right)=\sum_{\tau\in S_n}\operatorname{sgn}(\tau)\prod_{j=1}^{n} a_{j,\tau(j)}=\operatorname{det}(A).
Assim demonstramos que, para qualquer matriz quadrada A,
\operatorname{det}\!\left(A^{t}\right)=\operatorname{det}(A).

Passo 4

Aplicando a propriedade ao caso dado (com n=5): como \operatorname{det}\!\left(A^{t}\right)=\operatorname{det}(A) e foi dado \operatorname{det}(A)=-3, concluímos que \operatorname{det}\!\left(A^{t}\right)=-3.

Resposta

-3

Exercícios relacionados