Exercício 7. Seja
uma matriz
. Se
, calcule:
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
e informa que
. Pede-se para calcular
, onde
é a transposta de
.
Informações relevantes:
- Matriz
é . -
. - Queremos
.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é a transposta: a transposta
é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de entradas, se
então
.
Agora, precisamos de uma propriedade fundamental dos determinantes: a transposição troca linhas por colunas, e o determinante tratado como função das colunas tem as mesmas regras (multilinearidade e alternância) que quando é tratado como função das linhas. A consequência prática é que a transposição não altera o valor do determinante. Vamos demonstrar isso de forma direta e elementar.
Passo 3
Usaremos a fórmula por permutações para o determinante. Para uma matriz
(aqui
, mas a demonstração vale para todo
) vale:
onde
é o grupo de permutações de
e
é o sinal da permutação
.
Agora escrevemos o determinante da transposta usando a mesma fórmula, trocando
por
:
Fazemos uma mudança de índice para mostrar que essa soma coincide com a anterior. Seja
. Como a inversa preserva o sinal, temos
. Além disso, ao trocar a variável de soma:
fazendo a substituição
(isto é,
) obtemos
Portanto, ao reindexar a soma por
em vez de
,
Assim demonstramos que, para qualquer matriz quadrada
,
Passo 4
Aplicando a propriedade ao caso dado (com
): como
e foi dado
, concluímos que
.