Exercício 7. Seja
uma matriz
. Se
, calcule:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é uma matriz . -
.
O que é pedido:
- Calcular
, ou seja, o determinante da matriz inversa de .
Passo 2
Primeira observação importante (condição de existência da inversa):
- Uma matriz quadrada
tem inversa se, e somente se, .
Como aquie isso é diferente de zero, concluímos que é invertível e existe.
Passo 3
Propriedade fundamental usada (explicação didática):
- Para matrizes quadradas da mesma dimensão vale a propriedade multiplicativa do determinante:
para quaisquer matrizes quadradas
e
compatíveis.
Intuição simples: o determinante mede o fator de escala de volume associado à transformação linear; aplicar e depois
escala volumes pelo produto dos fatores, por isso os determinantes se multiplicam.
Intuição simples: o determinante mede o fator de escala de volume associado à transformação linear; aplicar
Passo 4
Aplicando a propriedade ao produto
(matriz identidade de ordem 5):
Pela multiplicatividade,
E sabe-se que
. Logo,
Passo 5
Substituindo o valor dado
: