Exercício 7. Seja A uma matriz 5 \times 5. Se \operatorname{det}(A)=-3, calcule:
\operatorname{det}\left(A^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A é uma matriz 5\times5.
  • \det(A) = -3.
O que é pedido:
  • Calcular \det\!\left(A^{-1}\right), ou seja, o determinante da matriz inversa de A.

Passo 2

Primeira observação importante (condição de existência da inversa):
  • Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, \det(A)\neq 0.
    Como aqui \det(A)= -3 e isso é diferente de zero, concluímos que A é invertível e A^{-1} existe.

Passo 3

Propriedade fundamental usada (explicação didática):
  • Para matrizes quadradas da mesma dimensão vale a propriedade multiplicativa do determinante:
\det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}
para quaisquer matrizes quadradas B e C compatíveis.
Intuição simples: o determinante mede o fator de escala de volume associado à transformação linear; aplicar B e depois C escala volumes pelo produto dos fatores, por isso os determinantes se multiplicam.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao produto A\cdot A^{-1}=I_5 (matriz identidade de ordem 5):
\det(A\,A^{-1})=\det(I_5).
Pela multiplicatividade,
\det(A)\det\!\left(A^{-1}\right)=\det(I_5).
E sabe-se que \det(I_5)=1. Logo,
\det\!\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det(A)}.

Passo 5

Substituindo o valor dado \det(A)=-3:
\det\!\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}.

Resposta

-\dfrac{1}{3}

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