Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
III. O conjunto
é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.
I. O conjunto de todos
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
III. O conjunto
(A) Todas são falsas.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O enunciado apresenta três afirmativas sobre subespaços vetoriais:
I. O conjunto de todostais que todas as entradas de são positivas, onde é uma matriz .
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que.
III. O conjunto. - A pergunta implícita: quais dessas afirmativas são verdadeiras (ou falsas)? Deve ser escolhida uma das alternativas (A)–(H).
Passo 2
Definição útil (por partes, explicada devagar): para um subconjunto
de um espaço vetorial ser um subespaço vetorial é necessário e suficiente que:
-
seja não vazio (em particular, o vetor zero deve pertencer a ); -
seja fechado sob adição: se e então ; -
seja fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
Explicando em palavras: o zero tem que estar dentro; somando ou multiplicando por qualquer número real, o resultado tem que continuar dentro do conjunto. Se qualquer uma dessas falhas ocorrer, o conjunto não é subespaço.
Passo 3
Analisando a afirmativa I.
- Conjunto:
todas as entradas de são positivas , com uma matriz . - Teste rápido: o vetor zero
deve pertencer ao subespaço se ele for de fato um subespaço. Calcule (o vetor nulo em ), cujas entradas são todas . - Observação: “positivas” normalmente significa estritamente maiores que zero, isto é,
. Para esse conjunto a condição exige entradas estritamente positivas. Como as entradas de são , elas não são positivas. - Conclusão:
conjunto, logo o conjunto falha na condição (1) e portanto NÃO é um subespaço vetorial.
Comentário adicional curto: também se
satisfaz a condição, então
normalmente não satisfaz (pois
torna entradas positivas em negativas), falhando na estabilidade por escalares; mas já bastou mostrar que o zero não pertence.
Passo 4
Analisando a afirmativa II.
- Conjunto:
, onde é o espaço dos polinômios de grau no máximo . - Teste do vetor zero: considere o polinômio zero
. Então e . A condição pedida seria , ou seja , o que é falso. - Conclusão imediata: o polinômio zero não pertence ao conjunto, logo o conjunto NÃO é um subespaço vetorial.
Comentário extra (didático): a condição dada é uma equação afim do tipo
, onde
é o operador linear
. O conjunto de soluções de
é um deslocamento (uma coseta) do núcleo de
, portanto não é um subespaço (a menos que o lado direito fosse
). Para ser subespaço precisaríamos de
.
Passo 5
Analisando a afirmativa III.
- Conjunto:
, isto é, o conjunto formado por um único vetor não nulo de . - Teste do vetor zero: o subespaço deve conter o vetor zero
. Aqui porque o único elemento é e ele não é o vetor zero. - Conclusão:
não contém o zero, logo NÃO é subespaço vetorial.
Comentário didático: um conjunto unitário
é subespaço somente se
. Caso contrário, falha em conter o zero e em ser fechado sob multiplicação por escalares (por exemplo,
).
Passo 6
Resumo das conclusões de cada item:
- I é falsa.
- II é falsa.
- III é falsa.
Portanto todas as três afirmativas são falsas.
Resposta
(A) Todas são falsas.