Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos vec{v} \in \mathbb{R}^{3} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 7 \times 3 é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(6)=8+p(5) é um subespaço vetorial.
III. O conjunto \{(1,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só III é verdadeira.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado apresenta três afirmativas sobre subespaços vetoriais:
    I. O conjunto de todos \vec{v}\in\mathbb{R}^{3} tais que todas as entradas de A\vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 7\times3.
    II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(6)=8+p(5).
    III. O conjunto \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^{4}.
  • A pergunta implícita: quais dessas afirmativas são verdadeiras (ou falsas)? Deve ser escolhida uma das alternativas (A)–(H).

Passo 2

Definição útil (por partes, explicada devagar): para um subconjunto W de um espaço vetorial ser um subespaço vetorial é necessário e suficiente que:
  1. W seja não vazio (em particular, o vetor zero deve pertencer a W);
  2. W seja fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W;
  3. W seja fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c u\in W.
Explicando em palavras: o zero tem que estar dentro; somando ou multiplicando por qualquer número real, o resultado tem que continuar dentro do conjunto. Se qualquer uma dessas falhas ocorrer, o conjunto não é subespaço.

Passo 3

Analisando a afirmativa I.
  • Conjunto: \{\vec{v}\in\mathbb{R}^3 \mid todas as entradas de A\vec{v} são positivas \}, com A uma matriz 7\times3.
  • Teste rápido: o vetor zero \vec{0}\in\mathbb{R}^3 deve pertencer ao subespaço se ele for de fato um subespaço. Calcule A\vec{0}=\vec{0} (o vetor nulo em \mathbb{R}^7), cujas entradas são todas 0.
  • Observação: “positivas” normalmente significa estritamente maiores que zero, isto é, >0. Para esse conjunto a condição exige entradas estritamente positivas. Como as entradas de A\vec{0} são 0, elas não são positivas.
  • Conclusão: \vec{0}\notin conjunto, logo o conjunto falha na condição (1) e portanto NÃO é um subespaço vetorial.
Comentário adicional curto: também se \vec{v} satisfaz a condição, então -\vec{v} normalmente não satisfaz (pois A(-\vec{v})=-A\vec{v} torna entradas positivas em negativas), falhando na estabilidade por escalares; mas já bastou mostrar que o zero não pertence.

Passo 4

Analisando a afirmativa II.
  • Conjunto: \{p\in P_2 \mid p(6)=8+p(5)\}, onde P_2 é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2.
  • Teste do vetor zero: considere o polinômio zero p_{\!0}(x)=0. Então p_{\!0}(6)=0 e p_{\!0}(5)=0. A condição pedida seria 0 = 8 + 0, ou seja 0=8, o que é falso.
  • Conclusão imediata: o polinômio zero não pertence ao conjunto, logo o conjunto NÃO é um subespaço vetorial.
Comentário extra (didático): a condição dada é uma equação afim do tipo L(p)=8, onde L é o operador linear L(p)=p(6)-p(5). O conjunto de soluções de L(p)=8 é um deslocamento (uma coseta) do núcleo de L, portanto não é um subespaço (a menos que o lado direito fosse 0). Para ser subespaço precisaríamos de p(6)-p(5)=0.

Passo 5

Analisando a afirmativa III.
  • Conjunto: \{(1,1,1,1)\}, isto é, o conjunto formado por um único vetor não nulo de \mathbb{R}^4.
  • Teste do vetor zero: o subespaço deve conter o vetor zero (0,0,0,0). Aqui (0,0,0,0)\notin\{(1,1,1,1)\} porque o único elemento é (1,1,1,1) e ele não é o vetor zero.
  • Conclusão: \{(1,1,1,1)\} não contém o zero, logo NÃO é subespaço vetorial.
Comentário didático: um conjunto unitário \{u\} é subespaço somente se u=\vec{0}. Caso contrário, falha em conter o zero e em ser fechado sob multiplicação por escalares (por exemplo, 0\cdot u=\vec{0}\notin\{u\}).

Passo 6

Resumo das conclusões de cada item:
  • I é falsa.
  • II é falsa.
  • III é falsa.
Portanto todas as três afirmativas são falsas.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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