Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 1 \\\\ -5 \\\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 7 \\\\ 5 \\\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -6 \\\\ -2 \\\\ 6\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^4:
v_1=\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\end{bmatrix},\qquad v_2=\begin{bmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]-5\\[4pt]-5\end{bmatrix},\qquad v_3=\begin{bmatrix}1\\[4pt]7\\[4pt]5\\[4pt]-5\end{bmatrix},\qquad v_4=\begin{bmatrix}-2\\[4pt]-6\\[4pt]-2\\[4pt]6\end{bmatrix}.
A pergunta é: determinar a dimensão de
\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\},
isto é, quantos vetores linearmente independentes existem nessa família (opções: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4).
Vou trabalhar passo a passo para mostrar como descobrir isso e explicar os conceitos usados.]

Passo 2

Conceito rápido (útil para a prova): a dimensão do span é o número máximo de vetores linearmente independentes dentre os dados. Para verificar dependência linear pode-se:
  • tentar escrever um vetor como combinação linear dos anteriores (resolver um sistema pequeno); ou
  • montar a matriz cujas colunas são os vetores e fazer eliminação de Gauss para contar pivôs (rank).
Escolhi primeiro tentar expressar v_3 e v_4 como combinações de v_1 e v_2, porque isso costuma ser mais rápido em problemas com poucos vetores (e evita operações com linhas). Se funcionarem, reduzimos o conjunto e depois verificamos independência dos restantes.

Passo 3

Procurar coeficientes \alpha,\beta\) tais que \[\alpha v_1+\beta v_2 = v_3.
Escrevendo por componentes obtemos o sistema:
\begin{cases} \alpha + 3\beta = 1,\\[4pt] \alpha + \beta = 7,\\[4pt] -\,\alpha -5\beta = 5,\\[4pt] -\,2\alpha -5\beta = -5. \end{cases}
Basta resolver as duas primeiras equações (as outras são verificações). Subtraindo a primeira da segunda:
(\alpha+\beta)-(\alpha+3\beta)=7-1 \quad\Rightarrow\quad -2\beta=6 \quad\Rightarrow\quad \beta=-3.
Então (\alpha=7-\beta=7-(-3)=10]. Verificação rápida nas outras componentes:
-\,\alpha-5\beta = -10 -5(-3) = -10+15=5,
-\,2\alpha-5\beta = -20 -5(-3) = -20+15=-5,
que coincidem com as componentes de v_3. Logo
v_3 = 10\,v_1 - 3\,v_2.]

Passo 4

Agora procurar \gamma,\delta\) tais que \[\gamma v_1+\delta v_2 = v_4.
Pelas duas primeiras componentes:
\begin{cases} \gamma + 3\delta = -2,\\[4pt] \gamma + \delta = -6. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(\gamma+3\delta)-(\gamma+\delta)= -2 -(-6)\quad\Rightarrow\quad 2\delta=4 \quad\Rightarrow\quad \delta=2.
Então (\gamma = -6-\delta = -6-2 = -8]. Verificação nas outras componentes:
-\,\gamma -5\delta = -(-8) -5\cdot 2 = 8-10 = -2,
-\,2\gamma -5\delta = -2(-8)-5\cdot 2 = 16-10 = 6,
que coincidem com v_4. Logo
v_4 = -8\,v_1 + 2\,v_2.]

Passo 5

Conclusão intermediária: tanto v_3 quanto v_4 são combinações lineares de v_1 e v_2. Portanto
\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\} = \operatorname{span}\{v_1,v_2\},
e a dimensão do span é no máximo 2. Agora precisamos saber se v_1 e v_2 são linearmente independentes ou se já um deles depende do outro.

Passo 6

Verificar se existem a,b\) não-triviais com \[a v_1 + b v_2 = 0.
Pelas duas primeiras componentes:
\begin{cases} a + 3b = 0,\\[4pt] a + b = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
2b = 0 \quad\Rightarrow\quad b=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.
Só há a solução trivial, logo v_1\] e \(v_2 são linearmente independentes. Portanto há exatamente 2 vetores independentes no conjunto original.]

Passo 7

Montando a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 7 & -6\\[4pt] -1 & -5 & 5 & -2\\[4pt] -2 & -5 & -5 & 6 \end{pmatrix}
Aplicando eliminação (escalonamento rápido):
R_2\leftarrow R_2-R_1,\quad R_3\leftarrow R_3+R_1,\quad R_4\leftarrow R_4+2R_1
torna
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -2 & 6 & -4\\[4pt] 0 & -2 & 6 & -4\\[4pt] 0 & 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}.
Trocar R_2 com R_4 e eliminar abaixo dá duas linhas nulas; restam exatamente dois pivôs (nas colunas 1 e 2). Assim \operatorname{rank}(A)=2, confirmando dimensão 2.]

Resposta

(C) 2

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