A pergunta é: qual é a dimensão de S?
Informações relevantes dadas: temos 14 coordenadas (espaço ambiente \mathbb{R}^{14}) e quatro equações lineares entre essas coordenadas.
Passo 2
Escrevendo cada equação em forma linear padrão (combinações lineares igual a zero):
Logo, se as duas primeiras equações forem satisfeitas, a quarta é automaticamente satisfeita — a quarta é redundante.
Passo 3
Conclusão intermediária: entre as quatro equações originais, há apenas três equações independentemente restritivas (a terceira x_{11}-x_{8}=0 é distinta das outras duas, e a quarta é combinação das primeiras duas).
Agora vamos usar um princípio básico de álgebra linear: se um subespaço de \mathbb{R}^{n} é definido por r equações lineares independentes (matriz de coeficientes de posto r), então a dimensão do espaço solução (o núcleo) é
\dim(\text{solução}) = n - r.çã
Aqui n=14 e r é o número de equações linearmente independentes.
Passo 4
Devemos verificar que as três equações não redundantes são de fato linearmente independentes. As três equações (na forma =\!0) têm vetores de coeficientes que atuam em coordenadas distintas em pares:
x_{3}-x_{7}=0 envolve apenas coordenadas 3 e 7,
x_{12}-x_{13}=0 envolve apenas 12 e 13,
x_{11}-x_{8}=0 envolve apenas 11 e 8.
Como cada uma atua em um par de posições que não coincide com as outras, não existe combinação linear não-trivial entre esses três vetores que produza o vetor nulo: examinando coordenadas isoladas (por exemplo a coordenada 3 força o coeficiente da primeira equação a ser zero, a coordenada 12 força o coeficiente da segunda a ser zero, etc.) segue-se que os coeficientes da combinação devem ser todos zero. Portanto o posto r é 3.
Passo 5
Aplicando a fórmula \dim(\text{solução}) = n - rçã com n=14 e r=3, obtemos
\dim(S)=14-3=11.
Intuição prática: há 14 variáveis e três restrições independentes, então restam 11 graus de liberdade. Uma parametrização simples é escolher livremente as 11 coordenadas