Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{14}\right) \in \mathbb{R}^{14} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{3} & =x_{7} \\\ x_{12} & =x_{13} \\\ x_{11} & =x_{8} \\\ x_{12}+x_{3} & =x_{13}+x_{7} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 4
(B) 14
(C) 11
(D) 12
(E) 10
(F) 3
(G) 2
(H) 13

Passo 1

O enunciado dá que S é o conjunto dos \left(x_{1},\ldots,x_{14}\right)\in\mathbb{R}^{14} que satisfazem as quatro igualdades:
\begin{aligned} x_{3} &= x_{7},\\\ x_{12} &= x_{13},\\\ x_{11} &= x_{8},\\\ x_{12}+x_{3} &= x_{13}+x_{7}. \end{aligned}
A pergunta é: qual é a dimensão de S?
Informações relevantes dadas: temos 14 coordenadas (espaço ambiente \mathbb{R}^{14}) e quatro equações lineares entre essas coordenadas.

Passo 2

Escrevendo cada equação em forma linear padrão (combinações lineares igual a zero):
\begin{aligned} x_{3}-x_{7} &= 0,\\\ x_{12}-x_{13} &= 0,\\\ x_{11}-x_{8} &= 0,\\\ x_{12}+x_{3}-x_{13}-x_{7} &= 0. \end{aligned}
Agora observe a relação entre as equações: a quarta equação é exatamente a soma da primeira com a segunda, pois
(x_{3}-x_{7}) + (x_{12}-x_{13}) = x_{12}+x_{3}-x_{13}-x_{7}.
Logo, se as duas primeiras equações forem satisfeitas, a quarta é automaticamente satisfeita — a quarta é redundante.

Passo 3

Conclusão intermediária: entre as quatro equações originais, há apenas três equações independentemente restritivas (a terceira x_{11}-x_{8}=0 é distinta das outras duas, e a quarta é combinação das primeiras duas).
Agora vamos usar um princípio básico de álgebra linear: se um subespaço de \mathbb{R}^{n} é definido por r equações lineares independentes (matriz de coeficientes de posto r), então a dimensão do espaço solução (o núcleo) é
\dim(\text{solução}) = n - r.çã
Aqui n=14 e r é o número de equações linearmente independentes.

Passo 4

Devemos verificar que as três equações não redundantes são de fato linearmente independentes. As três equações (na forma =\!0) têm vetores de coeficientes que atuam em coordenadas distintas em pares:
  • x_{3}-x_{7}=0 envolve apenas coordenadas 3 e 7,
  • x_{12}-x_{13}=0 envolve apenas 12 e 13,
  • x_{11}-x_{8}=0 envolve apenas 11 e 8.
Como cada uma atua em um par de posições que não coincide com as outras, não existe combinação linear não-trivial entre esses três vetores que produza o vetor nulo: examinando coordenadas isoladas (por exemplo a coordenada 3 força o coeficiente da primeira equação a ser zero, a coordenada 12 força o coeficiente da segunda a ser zero, etc.) segue-se que os coeficientes da combinação devem ser todos zero. Portanto o posto r é 3.

Passo 5

Aplicando a fórmula \dim(\text{solução}) = n - rçã com n=14 e r=3, obtemos
\dim(S)=14-3=11.
Intuição prática: há 14 variáveis e três restrições independentes, então restam 11 graus de liberdade. Uma parametrização simples é escolher livremente as 11 coordenadas
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{8},x_{9},x_{10},x_{12},x_{14}
e então definir as dependentes por
x_{7}=x_{3},\qquad x_{13}=x_{12},\qquad x_{11}=x_{8}.
Isso mostra concretamente os 11 parâmetros livres.

Resposta

11

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