Q11: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{4}
\beta=\left\{\vec{q}_{1}, \vec{q}_{2}, \vec{q}_{3}, \vec{q}_{4}\right\} \text {, com } \vec{q}_{2}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -1 \end{array}\right]
e o vetor \vec{v}=(-8,-1,-11,3).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{2} do vetor \vec{x}.

Passo 1

O enunciado diz que \beta=\{\vec q_1,\vec q_2,\vec q_3,\vec q_4\} é uma base ortogonal de \mathbb R^4, que sabemos significa que os vetores são mutuamente perpendiculares. Nos dão
\vec q_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix}
e o vetor
\vec v = (-8,-1,-11,3).
Queremos achar a segunda coordenada x_2 de \vec v em relação a \beta.

Passo 2

Em uma base ortogonal, a coordenada x_2 relativa a \vec q_2 é dada pela projeção de \vec v em \vec q_2, ou seja
x_2 \;=\;\frac{\vec v \cdot \vec q_2}{\vec q_2 \cdot \vec q_2}.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno \vec v \cdot \vec q_2:
\vec v\cdot \vec q_2 =(-8)\cdot(-1)+(-1)\cdot2+(-11)\cdot3+(3)\cdot(-1) =8-2-33-3=-30.

Passo 4

Agora o produto interno de \vec q_2 por si mesmo:
\vec q_2\cdot \vec q_2 =(-1)^2+2^2+3^2+(-1)^2 =1+4+9+1=15.

Passo 5

Substituindo em
x_2 = \frac{\vec v \cdot \vec q_2}{\vec q_2 \cdot \vec q_2}
temos
x_2 = \frac{-30}{15} = -2.

Resposta

-2

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