Q10: Seja T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{8} uma transformação linear cuja dimensão do núcleo é 3 . A dimensão do complemento ortogonal à imagem de T é:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que T\colon \mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^8 é linear e \dim\bigl(\ker T\bigr)=3. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Dimensão (rank–nullity) para achar a dimensão da imagem, e depois a relação entre essa dimensão e a dimensão do complemento ortogonal em \mathbb{R}^8.

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão, temos
\dim\bigl(\ker T\bigr)+\dim\bigl(\operatorname{Im}T\bigr)=\dim(\mathbb{R}^5)=5.
Como \dim(\ker T)=3, vem
\dim\bigl(\operatorname{Im}T\bigr)=5-3=2.

Passo 3

A imagem de T é um subespaço de \mathbb{R}^8 de dimensão 2. Em \mathbb{R}^8, para qualquer subespaço U,
\dim(U)+\dim(U^\perp)=8.
Aqui U=\operatorname{Im}T, logo
\dim\bigl((\operatorname{Im}T)^\perp\bigr)=8-2=6.

Resposta

(D) 6

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