Q15: Seja A uma matriz real n \times n. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se A possui inversa, então A é simétrica.
II - Se existe base do \mathbb{R}^{n} formada por autovetores de A, então A é simétrica.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado trata de uma matriz real n\times n e apresenta duas afirmações sobre simetria de A:
I – “Se A possui inversa, então A é simétrica.”
II – “Se existe base de \mathbb{R}^{n} formada por autovetores de A, então A é simétrica.”
O conteúdo envolvido é teoria de matrizes simétricas (que são diagonalizáveis ortogonalmente), inversibilidade e diagonalização geral.

Passo 2

Analisando I: a propriedade de ser invertível não impõe simetria. Por exemplo, considere
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Essa matriz tem determinante \det(A)=1\neq0, logo é invertível, mas
A^{T} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}\neq A,
ou seja, não é simétrica. Portanto, I é falsa.

Passo 3

Analisando II: ter base de autovetores significa apenas que A é diagonalizável (não necessariamente ortogonalmente). Por exemplo,
B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix}
tem autovalores distintos 1 e 2, logo possui duas direções próprias independentes que formam base de \mathbb{R}^2. Contudo,
B^{T} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix}\neq B,
ou seja, B não é simétrica. Assim, II também é falsa.

Passo 4

Como I e II são falsas, a resposta é a alternativa que diz “todas são falsas”.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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