Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(0,0,-1,2),(-2,0,1,0),(8,0,-1,-6)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(3,2,3,2)\}
(B) \{(3,4,6,3)\}
(C) \{(2,1,4,2),(3,2,3,2)\}
(D) \{(2,2,2,-4),(3,4,6,3)\}
(E) \{(2,1,4,2)\}
(F) \{(2,2,2,-4),(3,2,3,2)\}
(G) \{(2,1,4,2),(3,4,6,3)\}
(H) \{(2,2,2,-4)\}

Passo 1

O enunciado define o subespaço H \subset \mathbb{R}^4 gerado por
v_1=(0,0,-1,2),\quad v_2=(-2,0,1,0),\quad v_3=(8,0,-1,-6)
e pede uma base de H^\perp. O complemento ortogonal é o conjunto de todos os vetores x=(x_1,x_2,x_3,x_4) que satisfazem
\langle x,v_i\rangle=0
para i=1,2,3. Vamos usar produto escalar e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Escrevemos as equações \langle x,v_i\rangle=0\): \[\begin{cases} \langle x,v_1\rangle = -x_3 + 2x_4 = 0,\\\ \langle x,v_2\rangle = -2x_1 + x_3 = 0,\\\ \langle x,v_3\rangle = 8x_1 - x_3 - 6x_4 = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações obtemos
x_3 = 2x_4 \quad\text{e}\quad x_3 = 2x_1
logo (2x_1 = 2x_4], ou seja
x_1 = x_4, \quad x_3 = 2x_1.

Passo 3

A terceira equação é redundante, pois substituindo x_3=2x_1 e x_4=x_1 temos
8x_1 - 2x_1 - 6x_1 = 0,
que é verdade. O único grau de liberdade extra fica em x_2, então
x=(x_1,x_2,2x_1,x_1) = x_1\,(1,0,2,1) + x_2\,(0,1,0,0).
Logo \dim H^\perp = 2 e um par de vetores geradores é
w_1=(1,0,2,1), \quad w_2=(0,1,0,0).

Passo 4

Agora basta verificar qual opção tem dois vetores independentes em H^\perp. Entre as dadas,
(2,1,4,2)=2w_1+1w_2, \quad (3,4,6,3)=3w_1+4w_2,
ambos satisfazem x_1=x_4 e x_3=2x_1 e são linearmente independentes, gerando todo H^\perp. Esse par aparece na opção (G).

Resposta

(G) \{(2,1,4,2),(3,4,6,3)\}

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