Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -3 -47.9
-2 -4 -30.5
-1 -4 -15.7
0 4 3.6
1 -3 -14.4
2 4 -12.2
3 5 -30.0
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,6). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -199.1
(B) -198.1
(C) -197.1
(D) -196.1
(E) -195.1
(F) -194.1
(G) -193.1
(H) -192.1

Passo 1

O enunciado pede um ajuste por mínimos quadrados do modelo
Z = a\,x^2 + b\,y + c
a partir de 7 medições (x_i,y_i,Z_i). Em seguida, com os parâmetros a,b,c ajustados, devemos prever Z para (x,y)=(7,6). O método é resolver o sistema normal (A^T A)\,\theta = A^T Z com \theta=(a,b,c)^T.

Passo 2

Formamos a matriz de projeto A com colunas x_i^2, y_i e 1, e calculamos os somatórios necessários:
\sum x_i^2 = 28,\quad \sum y_i = -1,\quad n=7,
\sum x_i^4 =196,\quad \sum y_i^2 =107,\quad \sum x_i^2\,y_i =11,
\sum x_i^2\,Z_i = -902.0,\quad \sum y_i\,Z_i =187.3,\quad \sum Z_i = -147.1.

Passo 3

As equações normais são
\begin{pmatrix} 196 & 11 & 28\\\\ 11 & 107 & -1\\\\ 28 & -1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-902.0\\\ 187.3\\\ -147.1\end{pmatrix}.
Resolvendo por eliminação, obtemos aproximadamente
a \approx -4.1152,\quad b \approx 2.1337,\quad c \approx -4.2521.

Passo 4

Para (x,y)=(7,6), o modelo prevê
Z = a\,(7)^2 + b\,(6) + c \approx -4.1152\cdot49 + 2.1337\cdot6 -4.2521 \approx -193.09.

Passo 5

A melhor aproximação dentre as opções é -193.1, que corresponde à letra (G).

Resposta

(G) -193.1

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