Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores ( 5,3,1,-2 ) e (-4,-1,2,0) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \theta entre os vetores
u = (5,3,1,-2), \quad v = (-4,-1,2,0)
em \mathbb{R}^4. Para isso usamos o produto interno e as normas, segundo a fórmula
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\;\|v\|}.

Passo 2

Calcular o produto interno
u\cdot v = 5\cdot(-4) + 3\cdot(-1) + 1\cdot2 + (-2)\cdot0 = -20 -3 +2 +0 = -21.

Passo 3

Calcular as normas
\|u\| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 +9 +1 +4} = \sqrt{39},
\|v\| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 +1 +4} = \sqrt{21}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de \cos\theta:
\cos\theta = \frac{-21}{\sqrt{39}\,\sqrt{21}} = \frac{-21}{\sqrt{819}} \approx -0,734.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}(-0,734)\approx 2,395\text{ rad}\approx 137{,}3^\circ.

Passo 5

Em radianos, temos
\frac{3\pi}{4} \approx 2,356,\quad \frac{5\pi}{6}\approx 2,618,
e 2{,}356 < 2{,}395 < 2{,}618. Portanto
3\pi/4 < \theta \le 5\pi/6,
que corresponde à alternativa (G).

Resposta

(G)

Exercícios relacionados