Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
definido por
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base de
(o complemento ortogonal de
)? Os conjuntos candidatos são (A) a (H) conforme o enunciado, cada um formado por um ou dois vetores em
. Todas as informações relevantes do enunciado são os três vetores que geram
e as listas de vetores das alternativas.
Passo 2
Para achar
usamos a definição:
se e só se
é ortogonal a todos os vetores que geram
. Seja
As condições
para cada gerador
de
dão um sistema de equações. Calculando produto escalar com cada gerador obtemos:
Passo 3
Resolvo as primeiras duas equações para simplificar:
Daí temos
, ou seja
Logo
e
são iguais; e
.
Passo 4
Verifico a terceira equação usando
e
:
que é satisfeita identicamente. Portanto a única restrição é
e
; não há restrição sobre
. Assim os vetores de
têm a forma
com
.
Passo 5
Dessa forma
e uma base conveniente é
Explico por que essa forma é ótima: a primeira coordenada é livre (por isso o vetor
aparece) e as outras coordenadas obedecem
e
, gerando o vetor
. Qualquer vetor em
deve ter segundo e terceiro componentes iguais e quarta componente duas vezes a segunda.
Passo 6
Agora verifico quais vetores das alternativas satisfazem as condições
e
.
-
: aqui , (ok), mas . Logo não pertence a . -
: aqui , , e . Satisfeita, portanto pertence a . -
: análogo ao anterior; pertence a . -
: aqui . Não pertence a .
Portanto, entre os vetores que aparecem nas alternativas, apenas
e
estão em
.
Passo 7
Como
, uma base de
precisa conter dois vetores linearmente independentes que pertençam a
. As alternativas que contêm ambos
e
são candidatas. Verifico independência linear desses dois vetores: calcule a diferença
ou seja, a diferença é múltiplo de
. Como um deles tem primeira coordenada diferente do outro, não são múltiplos um do outro; portanto são linearmente independentes. Sendo dois vetores independentes em um espaço de dimensão
, eles formam uma base de
.
Passo 8
Concluo que a alternativa que fornece uma base de
é a que contém exatamente os vetores
e
, ou seja, a alternativa (B).
Resposta
(B)