Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(0,-2,0,1),(0,0,2,-1),(0,-6,-4,5)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(3,2,2,2),(4,3,3,6)\}
(B) \{(-1,3,3,6),(4,3,3,6)\}
(C) \{(-3,4,2,2)\}
(D) \{(-1,3,3,6),(-3,4,2,2)\}
(E) \{(4,3,3,6)\}
(F) \{(3,2,2,2),(-3,4,2,2)\}
(G) \{(-1,3,3,6)\}
(H) \{(3,2,2,2)\}

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 definido por
H=\operatorname{span}\{(0,-2,0,1),\;(0,0,2,-1),\;(0,-6,-4,5)\}.
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)? Os conjuntos candidatos são (A) a (H) conforme o enunciado, cada um formado por um ou dois vetores em \mathbb{R}^4. Todas as informações relevantes do enunciado são os três vetores que geram H e as listas de vetores das alternativas.

Passo 2

Para achar H^{\perp} usamos a definição: x\in H^{\perp} se e só se x é ortogonal a todos os vetores que geram H. Seja
x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4.
As condições x\cdot v=0 para cada gerador v de H dão um sistema de equações. Calculando produto escalar com cada gerador obtemos:
(0,-2,0,1)\cdot x = -2x_2 + x_4 = 0,
(0,0,2,-1)\cdot x = 2x_3 - x_4 = 0,
(0,-6,-4,5)\cdot x = -6x_2 -4x_3 +5x_4 = 0.

Passo 3

Resolvo as primeiras duas equações para simplificar:
-2x_2 + x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4 = 2x_2,
2x_3 - x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4 = 2x_3.
Daí temos 2x_2 = x_4 = 2x_3, ou seja
x_2 = x_3.
Logo x_2 e x_3 são iguais; e x_4 = 2x_2.

Passo 4

Verifico a terceira equação usando x_2=x_3=t e x_4=2t:
-6t -4t +5(2t) = -10t +10t = 0,
que é satisfeita identicamente. Portanto a única restrição é x_2=x_3 e x_4=2x_2; não há restrição sobre x_1. Assim os vetores de H^{\perp} têm a forma
x=(x_1,t,t,2t) = x_1(1,0,0,0) + t(0,1,1,2),
com x_1,t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Dessa forma \dim H^{\perp}=2 e uma base conveniente é
\{(1,0,0,0),\;(0,1,1,2)\}.
Explico por que essa forma é ótima: a primeira coordenada é livre (por isso o vetor (1,0,0,0) aparece) e as outras coordenadas obedecem x_2=x_3 e x_4=2x_2, gerando o vetor (0,1,1,2). Qualquer vetor em H^{\perp} deve ter segundo e terceiro componentes iguais e quarta componente duas vezes a segunda.

Passo 6

Agora verifico quais vetores das alternativas satisfazem as condições x_2=x_3 e x_4=2x_2.
  • (3,2,2,2): aqui x_2=2, x_3=2 (ok), mas x_4=2\neq 2x_2=4. Logo não pertence a H^{\perp}.
  • (4,3,3,6): aqui x_2=3, x_3=3, x_4=6 e 2x_2=6. Satisfeita, portanto pertence a H^{\perp}.
  • (-1,3,3,6): análogo ao anterior; pertence a H^{\perp}.
  • (-3,4,2,2): aqui x_2=4\neq x_3=2. Não pertence a H^{\perp}.
Portanto, entre os vetores que aparecem nas alternativas, apenas (4,3,3,6) e (-1,3,3,6) estão em H^{\perp}.

Passo 7

Como \dim H^{\perp}=2, uma base de H^{\perp} precisa conter dois vetores linearmente independentes que pertençam a H^{\perp}. As alternativas que contêm ambos (-1,3,3,6) e (4,3,3,6) são candidatas. Verifico independência linear desses dois vetores: calcule a diferença
(4,3,3,6)-(-1,3,3,6)=(5,0,0,0)=5(1,0,0,0),
ou seja, a diferença é múltiplo de (1,0,0,0). Como um deles tem primeira coordenada diferente do outro, não são múltiplos um do outro; portanto são linearmente independentes. Sendo dois vetores independentes em um espaço de dimensão 2, eles formam uma base de H^{\perp}.

Passo 8

Concluo que a alternativa que fornece uma base de H^{\perp} é a que contém exatamente os vetores (-1,3,3,6) e (4,3,3,6), ou seja, a alternativa (B).

Resposta

(B) \{(-1,3,3,6),(4,3,3,6)\}

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