Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado dá a vector
e o subespaço
Pede-se calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e em particular o valor da terceira coordenada
. A dica sugere projetar primeiro
sobre
.
Passo 2
A equação
fornece um vetor normal a
. Tomamos
pois os coeficientes da equação formam um vetor ortogonal ao plano
. Então
.
Passo 3
Qual é a ideia? Qualquer vetor
em
se decompõe de forma única como soma de um componente em
e outro em
:
Como
e
são ortogonais, temos
Projeção em uma reta gerada por
é fácil: para qualquer vetor
,
Aqui
é o produto escalar, que se calcula somando produtos coordenada a coordenada.
Passo 4
Calculemos os produtos escalares necessários.
Passo 5
A projeção de
sobre
é
Portanto
Passo 6
Agora obtemos a projeção em
subtraindo:
Fazendo a subtração coordenada a coordenada:
Passo 7
Uma checagem útil:
deve satisfazer a equação de
, isto é
. Calculando:
logo está coerente —
.
Resposta
(C) 3