Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado por três vetores:
Pede-se: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de
(o complemento ortogonal de
).
Informações relevantes dadas:
-
. - As alternativas A–H fornecem conjuntos candidatos a base de
. - Em
vale a dimensão fórmula .
Passo 2
Verificar dependência linear entre os geradores de
. Tentar escrever
como combinação linear de
e
:
procurar tais que
procurar
Das coordenadas temos as equações
Da primeira vem
. Da terceira vem
. Verificando a segunda:
que coincide com a coordenada exigida. Logo
ou seja,
é combinação linear de
e
.
Passo 3
Como
depende de
, os geradores efetivos de
são
e
. Verificar que
e
são linearmente independentes (não existe escalar
com
, já que a primeira coordenada de
é
e de
é
, logo não é múltiplo). Portanto
Pelo teorema da dimensão em
,
Logo qualquer base de
precisa ter exatamente dois vetores.
Passo 4
Calcular
como o espaço das soluções de
e
. Seja
. As equações são
Da primeira obtemos
Da segunda obtemos
Igualando as expressões para
dá
, ou seja
A coordenada
não aparece nas equações (é livre). Parametrizando com
e
obtemos a forma geral
Portanto uma base conveniente de
é
Passo 5
Pelo passo anterior
, então qualquer alternativa com apenas um vetor (B, C, E, H) não pode ser base. Restam apenas alternativas com dois vetores para verificar: (A), (D), (F), (G).
Verificar a alternativa (A):
e
.
Calcular produtos internos com os geradores e
(tirando-os do enunciado):
Calcular produtos internos com os geradores
Para
:
Para
:
Logo
.
Mostrar agora que
são linearmente independentes e formam base: expressá-los na base
encontrada:
Como os coeficientes formam vetores
e
linearmente independentes em
, segue que
e
são independentes. Como são dois vetores em
(espaço de dimensão
) e independentes, eles formam uma base de
. Portanto a alternativa (A) está correta.
Verificação rápida das outras com dois vetores:
- (D): o vetor
tem produto , logo não pertence a . - (F) e (G) também falham porque algum dos vetores não é ortogonal a
ou (por exemplo ). Assim (A) é a única alternativa que satisfaz.
Resposta
(A)