Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(-2,0,1,0),(0,0,-1,2),(8,0,-6,4)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H) ?
(A) \{(4,1,8,4),(3,-1,6,3)\}
(B) \{(3,-1,6,3)\}
(C) \{(2,3,3,3)\}
(D) \{(2,3,3,3),(3,-1,6,3)\}
(E) \{(4,1,8,4)\}
(F) \{(4,1,8,4),(-2,4,4,4)\}
(G) \{(2,3,3,3),(-2,4,4,4)\}
(H) \{(-2,4,4,4)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores:
v_1 = (-2,0,1,0),\qquad v_2=(0,0,-1,2),\qquad v_3=(8,0,-6,4).
Pede-se: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H).
Informações relevantes dadas:
  • H=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
  • As alternativas A–H fornecem conjuntos candidatos a base de H^{\perp}.
  • Em \mathbb{R}^4 vale a dimensão fórmula \dim H + \dim H^{\perp}=4.

Passo 2

Verificar dependência linear entre os geradores de H. Tentar escrever v_3 como combinação linear de v_1 e v_2:
procurar a,b tais que
a v_1 + b v_2 = v_3.
Das coordenadas temos as equações
-2a = 8,\qquad a\cdot 1 + b\cdot(-1) = -6,\qquad 2b = 4.
Da primeira vem a=-4. Da terceira vem b=2. Verificando a segunda:
(-4)\cdot 1 + 2\cdot(-1) = -4 -2 = -6,
que coincide com a coordenada exigida. Logo
v_3 = -4 v_1 + 2 v_2,
ou seja, v_3 é combinação linear de v_1 e v_2.

Passo 3

Como v_3 depende de v_1,v_2, os geradores efetivos de H são v_1 e v_2. Verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes (não existe escalar \lambda com v_2=\lambda v_1, já que a primeira coordenada de v_2 é 0 e de v_1 é -2, logo não é múltiplo). Portanto
\dim H = 2.
Pelo teorema da dimensão em \mathbb{R}^4,
\dim H^{\perp} = 4 - \dim H = 2.
Logo qualquer base de H^{\perp} precisa ter exatamente dois vetores.

Passo 4

Calcular H^{\perp} como o espaço das soluções de x\cdot v_1=0 e x\cdot v_2=0. Seja x=(x_1,x_2,x_3,x_4). As equações são
x\cdot v_1 = -2x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = 0,
x\cdot v_2 = 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + (-1)\cdot x_3 + 2\cdot x_4 = 0.
Da primeira obtemos
-2x_1 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 2x_1.
Da segunda obtemos
-x_3 + 2x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 2x_4.
Igualando as expressões para x_3 2x_1 = 2x_4, ou seja
x_1 = x_4.
A coordenada x_2 não aparece nas equações (é livre). Parametrizando com t=x_1 e s=x_2 obtemos a forma geral
x = (t, s, 2t, t) = t\,(1,0,2,1) + s\,(0,1,0,0).
Portanto uma base conveniente de H^{\perp} é
e_1=(1,0,2,1),\qquad e_2=(0,1,0,0).

Passo 5

Pelo passo anterior \dim H^{\perp}=2, então qualquer alternativa com apenas um vetor (B, C, E, H) não pode ser base. Restam apenas alternativas com dois vetores para verificar: (A), (D), (F), (G).
Verificar a alternativa (A): u_1=(4,1,8,4) e u_2=(3,-1,6,3).
Calcular produtos internos com os geradores v_1 e v_2 (tirando-os do enunciado):
Para u_1:
u_1\cdot v_1 = -2\cdot 4 + 1\cdot 8 = -8 + 8 = 0,
u_1\cdot v_2 = -1\cdot 8 + 2\cdot 4 = -8 + 8 = 0.
Para u_2:
u_2\cdot v_1 = -2\cdot 3 + 1\cdot 6 = -6 + 6 = 0,
u_2\cdot v_2 = -1\cdot 6 + 2\cdot 3 = -6 + 6 = 0.
Logo u_1,u_2\in H^{\perp}.
Mostrar agora que u_1,u_2 são linearmente independentes e formam base: expressá-los na base \{e_1,e_2\} encontrada:
u_1 = 4\,e_1 + 1\,e_2,\qquad u_2 = 3\,e_1 + (-1)\,e_2.
Como os coeficientes formam vetores (4,1) e (3,-1) linearmente independentes em \mathbb{R}^2, segue que u_1 e u_2 são independentes. Como são dois vetores em H^{\perp} (espaço de dimensão 2) e independentes, eles formam uma base de H^{\perp}. Portanto a alternativa (A) está correta.
Verificação rápida das outras com dois vetores:
  • (D): o vetor (2,3,3,3) tem produto (2,3,3,3)\cdot v_1 = -2\cdot 2 + 1\cdot 3 = -4+3=-1\neq 0, logo não pertence a H^{\perp}.
  • (F) e (G) também falham porque algum dos vetores não é ortogonal a v_1 ou v_2 (por exemplo (-2,4,4,4)\cdot v_1 = -2\cdot(-2)+1\cdot 4 = 4+4=8\neq 0). Assim (A) é a única alternativa que satisfaz.

Resposta

(A)

Exercícios relacionados