Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um angulo de 300 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
No
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
R: rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 300^\circ.
T: projeção ortogonal sobre o eixo x.
O que se pede: determinar a matriz que representa a composição R T (isto é, aplicar T e depois R) e escolher entre as alternativas (A)–(H).
Informações relevantes fornecidas:
Ângulo da rotação: 300^\circ.
A projeção sobre o eixo x manda (x,y)\mapsto (x,0).
As alternativas fornecem matrizes com entradas envolvendo \tfrac{1}{2} e \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Passo 2
Encontrar a matriz de T (projeção sobre o eixo x) no sistema de coordenadas canônico.
Explicação didática: para achar a matriz de uma transformação linear, aplicamos a transformação aos vetores da base canônica e_1=(1,0) e e_2=(0,1). As imagens formam as colunas da matriz.
T(e_1)=T(1,0)=(1,0) porque o ponto já está no eixo x.
T(e_2)=T(0,1)=(0,0) porque a projeção de um vetor puramente vertical é o zero no eixo x.
Portanto a matriz de T (na base canônica) é
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]
Passo 3
Encontrar a matriz de R (rotação anti-horária de ângulo \theta).
Explicação didática: a matriz de uma rotação anti-horária de ângulo \theta é a matriz
Aqui expliquei o que cada letra significa: \cos\theta é a componente x de R(e_1) e \sin\theta é a componente y de R(e_1); os sinais e posições vêm da fórmula padrão da matriz de rotação.]
Passo 4
Entender a ordem da composição R T e como ela se traduz em multiplicação de matrizes.
Explicação didática: se S e U são transformações lineares, a matriz do composto S\circ U (aplicar U depois S) é o produto de matrizes S\cdot U. Assim R T significa: primeiro aplicar T, depois R; a matriz desejada é R multiplicada por T:
(RT)(v)=R\bigl(T(v)\bigr)\quad\Longrightarrow\quad \text{matriz}(RT)=R\cdot T.