Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um angulo de 300 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
No

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
  • R: rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 300^\circ.
  • T: projeção ortogonal sobre o eixo x.
O que se pede: determinar a matriz que representa a composição R T (isto é, aplicar T e depois R) e escolher entre as alternativas (A)–(H).
Informações relevantes fornecidas:
  • Ângulo da rotação: 300^\circ.
  • A projeção sobre o eixo x manda (x,y)\mapsto (x,0).
  • As alternativas fornecem matrizes com entradas envolvendo \tfrac{1}{2} e \tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 2

Encontrar a matriz de T (projeção sobre o eixo x) no sistema de coordenadas canônico.
Explicação didática: para achar a matriz de uma transformação linear, aplicamos a transformação aos vetores da base canônica e_1=(1,0) e e_2=(0,1). As imagens formam as colunas da matriz.
  • T(e_1)=T(1,0)=(1,0) porque o ponto já está no eixo x.
  • T(e_2)=T(0,1)=(0,0) porque a projeção de um vetor puramente vertical é o zero no eixo x.
Portanto a matriz de T (na base canônica) é
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Encontrar a matriz de R (rotação anti-horária de ângulo \theta).
Explicação didática: a matriz de uma rotação anti-horária de ângulo \theta é a matriz
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
onde \theta é o ângulo em radianos ou graus — aqui usaremos graus.
Para \theta=300^\circ usamos as razões trigonométricas conhecidas:
  • \cos 300^\circ=\cos(360^\circ-60^\circ)=\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}.
  • \sin 300^\circ=\sin(360^\circ-60^\circ)=-\sin 60^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo:
R=R(300^\circ)=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Aqui expliquei o que cada letra significa: \cos\theta é a componente x de R(e_1) e \sin\theta é a componente y de R(e_1); os sinais e posições vêm da fórmula padrão da matriz de rotação.]

Passo 4

Entender a ordem da composição R T e como ela se traduz em multiplicação de matrizes.
Explicação didática: se S e U são transformações lineares, a matriz do composto S\circ U (aplicar U depois S) é o produto de matrizes S\cdot U. Assim R T significa: primeiro aplicar T, depois R; a matriz desejada é R multiplicada por T:
(RT)(v)=R\bigl(T(v)\bigr)\quad\Longrightarrow\quad \text{matriz}(RT)=R\cdot T.

Passo 5

Calcular o produto R\cdot T passo a passo.
Usamos as matrizes encontradas:
R=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, \qquad T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Multiplicação coluna a coluna (maneira simples e segura para provas): cada coluna de R T é R aplicada à respectiva coluna de T.
  • Primeira coluna de T é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Então primeira coluna de R T é
R\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna de T é \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}. Então segunda coluna de R T é
R\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto
R T=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix}.
Também se pode verificar por entrada a entrada multiplicando as linhas de R pelas colunas de T; o resultado é o mesmo.]

Passo 6

Comparar a matriz encontrada com as alternativas e escolher a correta.
A matriz que obtivemos é
\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix},
que corresponde exatamente à alternativa (C).]

Resposta

(C)

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