Determine se as matrizes: \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) são L.I. ou L.D.

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes 2\times2:
A_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad A_3=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad A_4=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
A pergunta é: essas matrizes são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)?]

Passo 2

Definição útil (passo-a-passo): um conjunto de matrizes é linearmente independente se a única solução do sistema
c_1 A_1 + c_2 A_2 + c_3 A_3 + c_4 A_4 = 0
for c_1=c_2=c_3=c_4=0. Caso exista uma solução com algum coeficiente não nulo, o conjunto é linearmente dependente.
Estratégia prática: podemos identificar cada matriz 2\times2 com um vetor em \mathbb{R}^4 usando a ordenação das entradas por linhas: (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}). Assim trabalhamos com um sistema de 4 equações lineares em 4 incógnitas c_1,c_2,c_3,c_4.

Passo 3

Vamos escrever os vetores correspondentes (pegando os dados das matrizes acima):
v_1=(1,1,0,0),\quad v_2=(0,0,1,1),\quad v_3=(1,0,0,1),\quad v_4=(0,1,1,1).
A condição c_1A_1+c_2A_2+c_3A_3+c_4A_4=0 vira a soma vetorial
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 + c_4 v_4 = (0,0,0,0).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema:
\begin{cases} \text{(1) } & c_1 + c_3 = 0,\\[4pt] \text{(2) } & c_1 + c_4 = 0,\\[4pt] \text{(3) } & c_2 + c_4 = 0,\\[4pt] \text{(4) } & c_2 + c_3 + c_4 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema passo a passo:
  • Da equação (1) segue
c_3 = -c_1.
  • Da equação (2) segue
c_4 = -c_1.
  • Da equação (3) segue
c_2 = -c_4 = -(-c_1)=c_1.
Agora substituímos essas expressões na equação (4). A equação (4) é
c_2 + c_3 + c_4 = 0.
Substituindo c_2=c_1, c_3=-c_1, c_4=-c_1 obtemos
c_1 + (-c_1) + (-c_1) = -c_1 = 0.
Logo
c_1 = 0.
Com c_1=0 voltamos nas relações obtidas e temos
c_2 = c_1 = 0,\qquad c_3 = -c_1 = 0,\qquad c_4 = -c_1 = 0.
Portanto a única solução é a trivial c_1=c_2=c_3=c_4=0.

Passo 5

Conclusão e interpretação: como a única combinação linear que produz a matriz zero é a combinação trivial, as quatro matrizes são linearmente independentes. Observação adicional (útil para a prova): o espaço de todas as matrizes 2\times2 tem dimensão 4; aqui temos 4 vetores linearmente independentes, portanto eles formam uma base desse espaço.

Resposta

Linearmente independentes (L.I.).

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