A pergunta é: essas matrizes são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)?]
Passo 2
Definição útil (passo-a-passo): um conjunto de matrizes é linearmente independente se a única solução do sistema
c_1 A_1 + c_2 A_2 + c_3 A_3 + c_4 A_4 = 0
for c_1=c_2=c_3=c_4=0. Caso exista uma solução com algum coeficiente não nulo, o conjunto é linearmente dependente.
Estratégia prática: podemos identificar cada matriz 2\times2 com um vetor em \mathbb{R}^4 usando a ordenação das entradas por linhas: (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}). Assim trabalhamos com um sistema de 4 equações lineares em 4 incógnitas c_1,c_2,c_3,c_4.
Passo 3
Vamos escrever os vetores correspondentes (pegando os dados das matrizes acima):
Portanto a única solução é a trivial c_1=c_2=c_3=c_4=0.
Passo 5
Conclusão e interpretação: como a única combinação linear que produz a matriz zero é a combinação trivial, as quatro matrizes são linearmente independentes. Observação adicional (útil para a prova): o espaço de todas as matrizes 2\times2 tem dimensão 4; aqui temos 4 vetores linearmente independentes, portanto eles formam uma base desse espaço.