Q11. Seguindo os passos da questão anterior, encontre a solução geral dos seguintes sistemas de EDO:
(f) \quad \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}5 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) \mathbf{x} ;

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo de EDOs com coeficientes constantes
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x},\quad A = \begin{pmatrix}5 & -1\\\ 3 & 1\end{pmatrix},
e pede a solução geral. Para resolver, usamos o método de autovalores e autovetores: primeiro encontramos o polinômio característico de A, depois os autovetores, e por fim montamos a combinação linear de soluções elementares.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A como
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}5-\lambda & -1\\\ 3 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (5-\lambda)(1-\lambda)+3 = \lambda^2 -6\lambda +8.
As raízes de \lambda^2 -6\lambda +8=0 são
\lambda = \frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2} = \frac{6\pm2}{2},
logo \lambda_1=4 e \lambda_2=2.

Passo 3

Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0:
\lambda_1=4:\quad (A-4I)=\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 3 & -3\end{pmatrix} \implies v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
\lambda_2=2:\quad (A-2I)=\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \implies v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Cada par (\lambda_i,v^{(i)}) gera uma solução elementar \mathbf{x}_i(t)=v^{(i)}e^{\lambda_i t}. Assim, a solução geral é a combinação linear delas.

Resposta

\mathbf{x}(t) = C_{1}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}e^{4t} + C_{2}\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}e^{2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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