Use o Teorema de Stokes para calcular o fluxo de nabla \times \vec{F} nas superfícies dadas
(c) \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)=\left(t g^{-1}\left(x^{2} y z^{2}\right), x^{2} y, x^{2} z^{2}\right) onde S é o cone x=\sqrt{y^{2}-z^{2}}, 0 \leq x \leq 2 orientado na direção do eixo positivo x.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial \displaystyle \vec F(x,y,z)=\bigl(\arctan(x^2yz^2),\,x^2y,\,x^2z^2\bigr)
e a superfície S que é o cone
x=\sqrt{y^2+z^2},\quad 0\le x\le2
orientado no sentido do eixo positivo x.
Pelo Teorema de Stokes, o fluxo de \nabla\times\vec F através de S é igual à circulação de \vec F em sua fronteira C:
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S \;=\;\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r.
Passo 2
A curva de contorno C ocorre onde x=2 e y^2+z^2=4, isto é, um círculo de raio 2 no plano x=2. Escolhemos a parametrização, de modo que, olhando a partir da direção positiva de x, C seja percorrida no sentido anti-horário: