Use o Teorema de Stokes para calcular o fluxo de nabla \times \vec{F} nas superfícies dadas
(c) \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)=\left(t g^{-1}\left(x^{2} y z^{2}\right), x^{2} y, x^{2} z^{2}\right) onde S é o cone x=\sqrt{y^{2}-z^{2}}, 0 \leq x \leq 2 orientado na direção do eixo positivo x.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\displaystyle \vec F(x,y,z)=\bigl(\arctan(x^2yz^2),\,x^2y,\,x^2z^2\bigr)
e a superfície S que é o cone
x=\sqrt{y^2+z^2},\quad 0\le x\le2
orientado no sentido do eixo positivo x.
Pelo Teorema de Stokes, o fluxo de \nabla\times\vec F através de S é igual à circulação de \vec F em sua fronteira C:
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S \;=\;\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r.

Passo 2

A curva de contorno C ocorre onde x=2 e y^2+z^2=4, isto é, um círculo de raio 2 no plano x=2. Escolhemos a parametrização, de modo que, olhando a partir da direção positiva de x, C seja percorrida no sentido anti-horário:
\vec r(t)=\bigl(2,\;2\cos t,\;2\sin t\bigr), \quad t\in[0,2\pi].
Então
d\vec r=\vec r\,'(t)\,dt =\bigl(0,\,-2\sin t,\;2\cos t\bigr)\,dt.

Passo 3

Avaliaremos \vec F sobre \vec r(t). Temos
x=2,\quad y=2\cos t,\quad z=2\sin t,
x^2yz^2 = 4\cdot(2\cos t)\cdot(4\sin^2 t) =32\cos t\sin^2 t.
Logo,
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) =\Bigl(\arctan\bigl(32\cos t\sin^2 t\bigr),\;8\cos t,\;16\sin^2 t\Bigr).

Passo 4

O produto escalar \vec F\cdot d\vec r é
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot\vec r\,'(t) =0\cdot\arctan(\dots) +8\cos t\;(-2\sin t) +16\sin^2 t\;(2\cos t).
Isto é,
\vec F\cdot d\vec r =\bigl(-16\cos t\sin t+32\sin^2 t\cos t\bigr)\,dt.

Passo 5

Calculamos a integral de 0 a 2\pi:
\oint_C\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-16\cos t\sin t+32\sin^2 t\cos t\bigr)\,dt.
Note que
\int_{0}^{2\pi}\cos t\sin t\,dt =\frac12\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t'\bigl|_{t'=2t}^{ }=0, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\cos t\,dt =\int\sin^2 t\,d(\sin t) =\tfrac13\sin^3 t\Big|_{0}^{2\pi}=0.
Logo toda a integral anula-se e obtemos zero.

Resposta

O fluxo de \nabla\times\vec F através de S é 0.

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