(Calculando integrais de formas diferenciais) Mostre que as formas diferenciais na integral \int_{(0,0,0)}^{(2,3,-6)} 2 x d x+2 y d y+2 z d z são exatas. Depois calcule essa integral.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
\omega = 2x\,dx + 2y\,dy + 2z\,dz
é exata em \mathbb{R}^3 e, em seguida, calcular a integral de linha
\int_{(0,0,0)}^{(2,3,-6)}\omega.
O conteúdo que vamos usar é o conceito de forma exata (potencial) e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de formas diferenciais exatas.

Passo 2

Para verificar que \omega é exata basta notar que existe uma função F(x,y,z) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial F}{\partial z}=2z.
Integramos cada parcial:
– Integrando \frac{\partial F}{\partial x}=2x em relação a x obtemos
F(x,y,z)=x^2 + h(y,z).
– Como \frac{\partial F}{\partial y}=2y, temos \frac{\partial}{\partial y}(x^2+h(y,z))=h_y(y,z)=2y, logo
h(y,z)=y^2+g(z).
– Finalmente, de \frac{\partial F}{\partial z}=2z vem g'(z)=2z, então
g(z)=z^2 + C.
Escolhendo a constante C=0 (não altera a integral), temos
F(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2,
e portanto \omega = dF, ou seja, \omega é exata.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para formas exatas, a integral de linha de \omega=dF entre dois pontos A e B é
\int_{A}^{B}\omega = F(B)-F(A).
Aqui A=(0,0,0) e B=(2,3,-6).

Passo 4

Calculamos
F(2,3,-6) = 2^2 + 3^2 + (-6)^2 = 4 + 9 + 36 = 49,
F(0,0,0) = 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0.
Logo
\int_{(0,0,0)}^{(2,3,-6)}\omega = 49 - 0 = 49.

Resposta

49

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