(Calculando integrais de formas diferenciais) Mostre que as formas diferenciais na integral
são exatas. Depois calcule essa integral.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
é exata em
e, em seguida, calcular a integral de linha
O conteúdo que vamos usar é o conceito de forma exata (potencial) e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de formas diferenciais exatas.
Passo 2
Para verificar que
é exata basta notar que existe uma função
tal que
Integramos cada parcial:
– Integrando em relação a
obtemos
– Integrando
– Como
, temos
, logo
– Finalmente, de
vem
, então
Escolhendo a constante
(não altera a integral), temos
e portanto
, ou seja,
é exata.
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para formas exatas, a integral de linha de
entre dois pontos
e
é
Aqui
e
.
Passo 4
Calculamos
Logo