Q12.18 Como seria enunciada a terceira lei de Kepler na hipótese de uma órbita circular, caso a lei de Newton da gravitação fosse alterada de modo que a força fosse inversamente proporcional a
? Essa alteração modificaria as outras duas leis de Kepler? Explique.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, dadas as hipóteses abaixo:
- Hipóteses fornecidas:
- A órbita é circular.
- A força gravitacional entre massa central
e partícula de massa é modificada para ser inversamente proporcional a (ou seja, ).
- Perguntas do enunciado:
- Como seria enunciada a terceira lei de Kepler nessa hipótese (para órbitas circulares)?
- Essa alteração na lei da gravitação modificaria as outras duas leis de Kepler (1ª e 2ª)? Explique.
Passo 2
Vamos montar as equações básicas para uma órbita circular. Primeiro explico as grandezas que vamos usar e a ideia física:
-
= raio da órbita circular. -
= velocidade angular linear da massa na órbita. -
= período orbital (tempo para uma volta completa). -
= massa central (por exemplo, o Sol). -
= massa do planeta (que vai cancelar nas relações). -
= constante da atração na nova lei (análogo a mas ajustado para a nova força); escrevemos a força como e sinal de atração é compreendido.
Condição de equilíbrio para órbita circular: a força central que puxa para o centro fornece a aceleração centrípeta necessária. Essa condição é sempre usada em problemas de órbita circular.
Passo 3
Escrevendo a igualdade entre força centrípeta e força gravitacional modificada:
Expliquei a fórmula:
- Lado esquerdo
é a força centrípeta (massa vezes aceleração centrípeta). - Lado direito
é a força gravitacional assumida (proporcional a ).
Cancelando
e rearranjando para
:
Passo 4
Agora relacionamos
com o período
. Para uma órbita circular:
Substituindo
obtemos
Ao elevar ao quadrado para comparar com a forma usual da terceira lei:
Passo 5
Interpretação e enunciado da terceira lei no caso
:
- Em palavras simples: o quadrado do período é proporcional à quarta potência do raio da órbita circular.
- Em fórmula (forma análoga à lei de Kepler):
Ou escrevendo constante explicitamente:
Compare mentalmente com a lei usual (para
) onde
.
Passo 6
Agora respondemos se as outras duas leis de Kepler seriam afetadas. Começo pela segunda lei (áreas iguais em tempos iguais), porque é mais direto e positivo.
Segunda lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais): a razão física por trás desta lei é a conservação do momento angular. Para qualquer força central (isto é, uma força que aponta sempre para o centro e cujo módulo depende só de
), o torque em relação ao centro é zero, logo o momento angular
é constante. Mostro a relação entre
e a área varrida:
- O momento angular do corpo é
, onde é a velocidade angular. - Área varrida por unidade de tempo é
. - Substituindo,
, que é constante se é constante.
Portanto, para qualquer força central, inclusive uma força, vale a segunda lei de Kepler: áreas iguais em tempos iguais. Conclusão: a 2ª lei NÃO se altera.
Passo 7
Agora a primeira lei de Kepler (órbitas são elipses com o foco no Sol). Por que ela surge originalmente?
- Com a força newtoniana
(lei de Newton), as trajetórias de partículas sob essa força são as cônicas (círculo, elipse, parábola, hipérbole) com o foco no centro da força — isso resulta matematicamente da forma da equação do movimento sob .
O que muda quando? - A equação radial e a equação para a trajetória angular resultam em curvas que, em geral, não são cônicas. A forma do potencial associada a
é diferente (para obtém-se um potencial proporcional a ), e as soluções para não são, de modo geral, elipses. Além disso, a propriedade matemática especial que faz com que todas as órbitas ligadas sejam fechadas (da qual as elipses fazem parte) acontece somente para duas classes de forças centrais (resultado conhecido como teorema de Bertrand): a força proporcional a e a force linear . Para outras leis (como ) as órbitas ligadas não são, em geral, fechadas e portanto não são elipses.
Conclusão: a 1ª lei de Kepler (órbitas elípticas) NÃO permanece válida em geral se a força fosse.
Passo 8
Resumo físico-intuitivo (para lembrar na prova, estilo “dica”):
- A 2ª lei depende só de ser força central → permanece.
- A 1ª lei depende da forma específica da força (inverse-square) que gera conic sections → muda.
- A 3ª lei (relação período–raio) segue da condição de força centrípeta para órbita circular; modificando a lei de força muda o expoente na relação
. Para obtém-se em geral ; no caso clássico , e no caso do enunciado .
Resposta
A 1ª lei de Kepler seria modificada: as órbitas não seriam, em geral, elipses.
A 2ª lei de Kepler não seria modificada: permanece válida porque qualquer força central conserva o momento angular.