Q12.17 Em qual ponto de uma órbita elíptica a aceleração é máxima? Em qual ponto ela é mínima? Justifique suas respostas.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar em qual ponto de uma órbita elíptica a aceleração do corpo em órbita é máxima e em qual ponto ela é mínima, e justificar.
Dados relevantes que vamos usar (assumidos como apropriados para órbitas gravitationais):
  • A trajetória é uma elipse com semi-eixo maior a e excentricidade e.
  • O corpo que atrai (por exemplo o Sol ou a Terra) está localizado em um dos focos da elipse.
  • A aceleração gravitacional é uma força central de lei do inverso do quadrado da distância, cuja magnitude é dada por \displaystyle a=\frac{\mu}{r^{2}}, onde \mu=GM (constante gravitacional vezes massa do corpo central) e r é a distância do corpo em órbita ao foco.

Passo 2

Entendendo a fórmula da aceleração central:
  • A aceleração devido à gravidade (para órbitas newtonianas) aponta para o foco e tem magnitude
a=\frac{\mu}{r^{2}}.
  • Aqui \mu é constante positiva (depende da massa do central), e r>0 é a distância entre as massas. Portanto, para r>0 a função a(r)=\mu/r^{2} é estritamente decrescente em r: quanto menor r, maior a; quanto maior r, menor a. Essa é uma observação chave: extrema de a ocorrem nos extremos de r.

Passo 3

Equação da elipse em coordenadas polares com foco na origem:
  • Para uma elipse com foco na origem e orientada de modo que o periastro esteja em direção \theta=0, a distância radial r em função do ângulo verdadeiro \theta (anomalia verdadeira) é
r(\theta)=\frac{p}{1+e\cos\theta},
onde p é o semi-latus rectum. Para uma elipse vale a relação
p=a(1-e^{2}).
  • Substituindo, obtemos a forma conveniente
r(\theta)=\frac{a(1-e^{2})}{1+e\cos\theta}.

Passo 4

Identificar os pontos de mínima e máxima de r(\theta):
  • A fórmula \displaystyle r(\theta)=\dfrac{a(1-e^{2})}{1+e\cos\theta} mostra que r varia apenas por meio do denominador 1+e\cos\theta.
  • O termo \cos\theta varia entre -1 e 1. Então:
    • 1+e\cos\theta atinge seu valor mínimo quando \cos\theta=1 (isto é, \theta=0), e atinge seu valor máximo quando \cos\theta=-1 (isto é, \theta=\pi).
  • Como r é inversamente proporcional ao denominador, os extremos são:
    • r_{\min} em \theta=0:
    r_{\min}=r(0)=\frac{a(1-e^{2})}{1+e}=a(1-e).
    • r_{\max} em \theta=\pi:
    r_{\max}=r(\pi)=\frac{a(1-e^{2})}{1-e}=a(1+e).
  • Nomes usuais: o ponto r_{\min}=a(1-e) é o periastro (periélio se o central for o Sol, perigeu se for a Terra); o ponto r_{\max}=a(1+e) é o apoastro (afelio, apogeu).

Passo 5

Relacionando os extremos de r com os extremos da aceleração:
  • Lembrando que \displaystyle a=\frac{\mu}{r^{2}} e que a(r) é decrescente em r, concluímos:
    • A aceleração é máxima quando r é mínima, isto é em \theta=0 (periastro).
    • A aceleração é mínima quando r é máxima, isto é em \theta=\pi (apoastro).
  • Podemos também escrever os valores numéricos relativos:
    • a_{\max}=\dfrac{\mu}{\bigl(a(1-e)\bigr)^{2}}=\dfrac{\mu}{a^{2}(1-e)^{2}}.
    • a_{\min}=\dfrac{\mu}{\bigl(a(1+e)\bigr)^{2}}=\dfrac{\mu}{a^{2}(1+e)^{2}}.

Passo 6

Resumo intuitivo e incentivo:
  • Intuitivamente: quando o corpo passa mais perto do central ele “sente” uma gravidade muito maior (maior aceleração); quando está mais longe, a atração é mais fraca. Isso vale para qualquer força que decresce com distância (como 1/r^{2}).
  • Você já tem a resposta e a fórmula dos valores extremos; na prova basta argumentar que a é função decrescente de r e identificar os pontos de menor e maior r na elipse.

Resposta

Máxima: no periastro (ponto de menor distância) \theta=0, com r=a(1-e) e a_{\max}=\dfrac{\mu}{a^{2}(1-e)^{2}}.
Mínima: no apoastro (ponto de maior distância) \theta=\pi, com r=a(1+e) e a_{\min}=\dfrac{\mu}{a^{2}(1+e)^{2}}.

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