Q12.17 Em qual ponto de uma órbita elíptica a aceleração é máxima? Em qual ponto ela é mínima? Justifique suas respostas.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar em qual ponto de uma órbita elíptica a aceleração do corpo em órbita é máxima e em qual ponto ela é mínima, e justificar.
Dados relevantes que vamos usar (assumidos como apropriados para órbitas gravitationais):
- A trajetória é uma elipse com semi-eixo maior
e excentricidade . - O corpo que atrai (por exemplo o Sol ou a Terra) está localizado em um dos focos da elipse.
- A aceleração gravitacional é uma força central de lei do inverso do quadrado da distância, cuja magnitude é dada por
, onde (constante gravitacional vezes massa do corpo central) e é a distância do corpo em órbita ao foco.
Passo 2
Entendendo a fórmula da aceleração central:
- A aceleração devido à gravidade (para órbitas newtonianas) aponta para o foco e tem magnitude
- Aqui
é constante positiva (depende da massa do central), e é a distância entre as massas. Portanto, para a função é estritamente decrescente em : quanto menor , maior ; quanto maior , menor . Essa é uma observação chave: extrema de ocorrem nos extremos de .
Passo 3
Equação da elipse em coordenadas polares com foco na origem:
- Para uma elipse com foco na origem e orientada de modo que o periastro esteja em direção
, a distância radial em função do ângulo verdadeiro (anomalia verdadeira) é
onde
é o semi-latus rectum. Para uma elipse vale a relação
- Substituindo, obtemos a forma conveniente
Passo 4
Identificar os pontos de mínima e máxima de
:
- A fórmula
mostra que varia apenas por meio do denominador . - O termo
varia entre e . Então: -
atinge seu valor mínimo quando (isto é, ), e atinge seu valor máximo quando (isto é, ).
-
- Como
é inversamente proporcional ao denominador, os extremos são: -
em :
-
em :
-
- Nomes usuais: o ponto
é o periastro (periélio se o central for o Sol, perigeu se for a Terra); o ponto é o apoastro (afelio, apogeu).
Passo 5
Relacionando os extremos de
com os extremos da aceleração:
- Lembrando que
e que é decrescente em , concluímos: - A aceleração é máxima quando
é mínima, isto é em (periastro). - A aceleração é mínima quando
é máxima, isto é em (apoastro).
- A aceleração é máxima quando
- Podemos também escrever os valores numéricos relativos:
-
. -
.
-
Passo 6
Resumo intuitivo e incentivo:
- Intuitivamente: quando o corpo passa mais perto do central ele “sente” uma gravidade muito maior (maior aceleração); quando está mais longe, a atração é mais fraca. Isso vale para qualquer força que decresce com distância (como
). - Você já tem a resposta e a fórmula dos valores extremos; na prova basta argumentar que
é função decrescente de e identificar os pontos de menor e maior na elipse.
Resposta
Máxima: no periastro (ponto de menor distância)
, com
e
.
Mínima: no apoastro (ponto de maior distância) , com
e
.
Mínima: no apoastro (ponto de maior distância)