Q12.16) Uma empresa de comunicações deseja colocar um satélite em órbita de modo que ele sempre sobrevoe a Terra ao longo do paralelo 45 (latitude norte de 45^{\circ} ). Isso significa que o plano da órbita não passará pelo centro da Terra. Essa órbita seria possível? Explique por quê.

Passo 1

O enunciado pede que avalie se é possível colocar um satélite em órbita de modo que ele “sempre sobrevoe a Terra ao longo do paralelo 45^\circ norte” — isto é, o satélite, em todos os instantes da sua órbita, teria latitude constante igual a \,45^\circ. O enunciado acrescenta que o plano da órbita “não passará pelo centro da Terra” (ou seja, seria um plano paralelo a um plano tangente à Terra em latitude 45^\circ, deslocado do centro). A pergunta é: essa órbita é possível? Deve-se explicar o motivo.
Informações relevantes dadas:
  • Deseja-se uma órbita cuja trajetória sobre a superfície terrestre seja o paralelo de latitude \,45^\circ.
  • Está implícito que a órbita é de um satélite sob a gravidade da Terra (situação típica).
  • Foi dito explicitamente que o plano da órbita não passará pelo centro da Terra.

Passo 2

Conceito físico fundamental: movimento sob uma força central (gravidade) fica confinado a um plano que contém o centro da força. Vou explicar isso devagar e com fórmulas.
  • Para um corpo de massa m sob a ação de uma força central (força cuja direção aponta sempre para o centro de massa da Terra), o momento angular \mathbf{L} é definido por
\mathbf{L}=m\,\mathbf{r}\times\mathbf{v},
onde \mathbf{r} é o vetor posição do satélite medido a partir do centro da Terra e \mathbf{v} é sua velocidade. Essa definição é pura geometria vetorial: \mathbf{L} é perpendicular ao plano formado por \mathbf{r} e \mathbf{v}.
  • Se a força é central, o torque é zero:
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{\tau}= \mathbf{r}\times\mathbf{F}= \mathbf{r}\times(\text{algo paralelo a }\mathbf{r})= \mathbf{0}.
Logo \mathbf{L} é constante no tempo (vetor constante).
  • Consequência geométrica: como \mathbf{L} é constante e sempre perpendicular a \mathbf{r} e \mathbf{v}, o movimento fica confinado ao plano perpendicular a \mathbf{L} que passa pela origem (centro da Terra). Em palavras simples: a trajetória do satélite é sempre uma curva que fica num único plano que contém o centro da Terra.

Passo 3

Geometria da interseção entre plano e esfera (a Terra, para efeito didático, trata-se como esfera de raio R).
  • Um plano que passa pelo centro da esfera corta a esfera numa circunferência cujo centro coincide com o centro da esfera. Essa circunferência tem raio R e é chamada de grande círculo (great circle). Ex.: o Equador é um grande círculo; qualquer plano que passe pelo centro define um grande círculo na superfície.
  • Um paralelo de latitude \varphi (com \varphi\neq 0) é um “pequeno círculo”: é a interseção da esfera com um plano paralelo ao plano equatorial, portanto esse plano não passa pelo centro da Terra. Geometricamente, um paralelo \varphi\neq 0 tem raio menor que R e seu centro não coincide com o centro da Terra.
  • Conclusão direta: se a trajetória do satélite estiver contida num plano que passa pelo centro (como exige a gravidade central), sua projeção na superfície terrestre será um grande círculo, não um paralelo de latitude diferente do equador. Portanto, a única latitude que pode ser percorrida permanentemente por uma órbita natural é a latitude 0^\circ (o equador).

Passo 4

Aplicando isso ao caso pedido (latitude \,45^\circ):
  • O paralelo 45^\circ é um pequeno círculo (plano deslocado do centro). Mas uma órbita livre sob gravidade está em um plano que contém o centro. Logo a interseção da órbita com a superfície terrestre não pode ser esse pequeno círculo de latitude 45^\circ.
  • Em termos práticos: se o satélite se mover livremente só sob a gravidade da Terra, sua latitude não pode permanecer constante igual a \,45^\circ durante toda a órbita. Em geral, uma órbita inclinada (plano passando pelo centro, inclinado em relação ao equador) faz a latitude do satélite variar entre -i e +i, onde i é a inclinação orbital (ou seja, a latitude máxima atingida é igual à inclinação).

Passo 5

Exceções e observações práticas (sem quebrar o raciocínio principal):
  • Exceção com propulsão: seria possível forçar o satélite a seguir constantemente o paralelo 45^\circ se o satélite tiver meio de propulsão contínua (empuxo controlado) que compense o fato de que esse caminho não é uma trajetória natural sob gravidade. Ou seja, com manobra ativa (gastar combustível) torna-se possível percorrer um pequeno círculo permanente. Porém isso não é uma “órbita livre” no sentido usual — é uma órbita mantida por forças não-gravitacionais.
  • Geostacionário e latitudes diferentes: o satélite geoestacionário (fixo sobre um ponto da superfície) só existe no equador; não há geostacionário fixo acima de latitude \,45^\circ. Também há órbitas que passam frequentemente por altas latitudes (por exemplo órbitas Molniya ou Tundra) mas nelas a latitude não é constante — o satélite passa e volta.

Passo 6

Resumo didático (colocando tudo junto, para levar para a prova):
  • Regra chave: sob força central, órbita é plana e o plano contém o centro da Terra (conservação do momento angular).
  • Consequência geométrica: interseção de plano que contém o centro com a esfera é um grande círculo; paralelos de latitude diferentes do equador são pequenos círculos (planos deslocados do centro).
  • Portanto: impossível ter uma órbita natural (movimento só por gravidade) que fique sempre sobre o paralelo \,45^\circ. Só seria possível com forças adicionais (propulsão contínua ou outro mecanismo que introduza força não-central).

Resposta

Não — não é possível para uma órbita natural sob a gravidade da Terra. Órbitas sob força central ficam em um plano que passa pelo centro da Terra, e a interseção desse plano com a superfície é um grande círculo; o paralelo \,45^\circ é um pequeno círculo (plano deslocado do centro), logo só com forças não-gravitacionais (propulsão contínua) seria possível manter um satélite sempre sobre esse paralelo.

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