Q12: Assinale o menor autovalor da matriz
\left[\begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -3 & 7 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -3 & 7\end{pmatrix}
e pede que a gente assinale o menor autovalor. O conteúdo envolvido é autovalor de matrizes: para isso, vamos calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e resolver para \lambda.

Passo 2

O polinômio característico de A é
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}2 - \lambda & 2 \\\\ -3 & 7 - \lambda\end{pmatrix} = (2 - \lambda)(7 - \lambda) - \bigl(2 \cdot (-3)\bigr).
Fazendo as contas,
(2 - \lambda)(7 - \lambda) + 6 = \bigl(14 - 9\lambda + \lambda^2\bigr) + 6 = \lambda^2 - 9\lambda + 20.

Passo 3

Agora resolvemos a equação
\lambda^2 - 9\lambda + 20 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{9 \pm \sqrt{9^2 - 4\cdot1\cdot20}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}.
Isso gera os dois autovalores
\lambda_1 = \frac{9 + 1}{2} = 5, \quad \lambda_2 = \frac{9 - 1}{2} = 4.

Passo 4

Dos valores 5 e 4, o menor autovalor é
\,4.

Resposta

4

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