Q12: Assinale o menor autovalor da matriz \left[\begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -3 & 7 \end{array}\right] Passo 1O enunciado nos dá a matriz A = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -3 & 7\end{pmatrix} e pede que a gente assinale o menor autovalor. O conteúdo envolvido é autovalor de matrizes: para isso, vamos calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e resolver para \lambda. Passo 2O polinômio característico de A é \det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}2 - \lambda & 2 \\\\ -3 & 7 - \lambda\end{pmatrix} = (2 - \lambda)(7 - \lambda) - \bigl(2 \cdot (-3)\bigr). Fazendo as contas, (2 - \lambda)(7 - \lambda) + 6 = \bigl(14 - 9\lambda + \lambda^2\bigr) + 6 = \lambda^2 - 9\lambda + 20. Passo 3Agora resolvemos a equação \lambda^2 - 9\lambda + 20 = 0 pela fórmula de Bhaskara: \lambda = \frac{9 \pm \sqrt{9^2 - 4\cdot1\cdot20}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}. Isso gera os dois autovalores \lambda_1 = \frac{9 + 1}{2} = 5, \quad \lambda_2 = \frac{9 - 1}{2} = 4. Passo 4Dos valores 5 e 4, o menor autovalor é \,4. Resposta 4 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQ12: Assinale o menor autovalor da matriz \left[\begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -3 & 7 \end{array}\right] Seja \mathbf{u}=\left(u_{1}, u_{2}\right). Considere a forma quadrática F(\mathbf{u})=\left[\begin{array}{ll}u_{1} & u_{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}u_{1} \\\ u_{2}\end{array}\right]. Assinale a alternativa VERDADEIRA. (A) F(\mathbf{u})<0 para todo \mathbf{u} \neq \mathbf{0}. (B) F(\mathbf{u})>0 para todo \mathbf{u} \neq \mathbf{0}. (C) Existem \mathbf{u} e \mathbf{v} tal que F(\mathbf{u})<0 e F(\mathbf{v})>0. (D) Nenhuma das demais alternativas. Q13: Seja A uma matriz quadrada. Considere o sistema linear A \vec{x}=\vec{b}. Considere as afirmativas abaixo: I - Se \operatorname{det} A \neq 0, o sistema pode não ter solução. II - Se o sistema tem solução única para \vec{b}=\overrightarrow{0}, então \operatorname{det} A= 0. (A) Apenas I é verdadeira. (B) Todas são verdadeiras. (C) Todas são falsas. Q13: Seja A uma matriz quadrada. Considere o sistema linear A \vec{x}=\vec{b}. Considere as afirmativas abaixo: I - Se \operatorname{det} A \neq 0, o sistema pode não ter solução. II - Se o sistema tem solução única para \vec{b}=\overrightarrow{0}, então \operatorname{det} A= 0. (A) Apenas I é verdadeira. (B) Todas são verdadeiras. (C) Todas são falsas.