Q12.5) Quando a atração gravitacional entre você e o Sol é maior: ao meio-dia ou à meia-noite? Explique.

Passo 1

O que o problema pede: decidir quando a atração gravitacional entre você e o Sol é maior — ao meio‑dia ou à meia‑noite — e explicar por quê.
Informações relevantes que vamos usar (valores padrão que são razoáveis para este tipo de pergunta):
  • Lei da gravitação universal de Newton: F=\dfrac{G\,M_{\odot}\,m}{r^{2}}, onde F é a força gravitacional entre o Sol (massa M_{\odot}) e uma pessoa (massa m), G é a constante gravitacional e r é a distância entre a pessoa e o centro do Sol.
  • Distância média entre o centro da Terra e o centro do Sol: R \approx 1{,}496\times10^{11}\\ \text{m} (1 UA).
  • Raio da Terra: R_{\oplus}\approx6{,}371\times10^{6}\\ \text{m}.
Observação clara (assunção usada): “meio‑dia” refere‑se ao momento em que a pessoa está no lado da Terra voltado para o Sol (o ponto mais próximo do Sol na superfície); “meia‑noite” refere‑se ao lado oposto (o ponto mais distante do Sol na superfície). Essas posições diferem em distância ao Sol em aproximadamente 2R_{\oplus}.

Passo 2

Escrever as distâncias até o Sol nos dois casos e as forças correspondentes.
  • Distância quando você está ao meio‑dia (lado próximo): r_{\text{meio‑dia}} = R - R_{\oplus}.
  • Distância quando você está à meia‑noite (lado oposto): r_{\text{meia‑noite}} = R + R_{\oplus}.
Usando a lei da gravitação:
F_{\text{meio‑dia}}=\dfrac{G\,M_{\odot}\,m}{(R-R_{\oplus})^{2}},\qquad F_{\text{meia‑noite}}=\dfrac{G\,M_{\odot}\,m}{(R+R_{\oplus})^{2}}.
Aqui a comparação é direta: a força é maior quando r é menor. Então, a menos que algo exótico aconteça, a força será maior no lado mais próximo do Sol, isto é, ao meio‑dia. Vamos quantificar a diferença para ver quão grande (ou pequena) ela é.

Passo 3

Fazer a comparação algébrica com aproximação para R_{\oplus}\ll R.
Defina \varepsilon=\dfrac{R_{\oplus}}{R}. Então
F_{\text{meio‑dia}}=\dfrac{G\,M_{\odot}\,m}{R^{2}}\cdot\dfrac{1}{(1-\varepsilon)^{2}},\qquad F_{\text{meia‑noite}}=\dfrac{G\,M_{\odot}\,m}{R^{2}}\cdot\dfrac{1}{(1+\varepsilon)^{2}}.
Para \varepsilon pequeno (o que é verdade aqui), use a expansão binomial:
(1\mp\varepsilon)^{-2}\approx 1\pm 2\varepsilon + O(\varepsilon^{2}).
Portanto, ao primeiro ordem em \varepsilon:
F_{\text{meio‑dia}}\approx\dfrac{G\,M_{\odot}\,m}{R^{2}}\,(1+2\varepsilon), \qquad F_{\text{meia‑noite}}\approx\dfrac{G\,M_{\odot}\,m}{R^{2}}\,(1-2\varepsilon).
Subtraindo,
F_{\text{meio‑dia}}-F_{\text{meia‑noite}}\approx\dfrac{G\,M_{\odot}\,m}{R^{2}}\;4\varepsilon.
Isto mostra quantitativamente que F_{\text{meio‑dia}}>F_{\text{meia‑noite}} e que a diferença relativa é da ordem de 4\varepsilon.

Passo 4

Calcular valores numéricos aproximados para entender a magnitude da diferença.
Calcule \varepsilon:
\varepsilon=\dfrac{R_{\oplus}}{R}\approx\dfrac{6{,}371\times10^{6}}{1{,}496\times10^{11}}\approx4{,}26\times10^{-5}.
A fração relativa entre as forças (diferença percentual aproximada) é cerca de 4\varepsilon:
4\varepsilon\approx1{,}704\times10^{-4}\approx0{,}017\%.
Para ter uma ideia em aceleração: a aceleração gravitacional do Sol na órbita da Terra é
a_{\odot}=\dfrac{G\,M_{\odot}}{R^{2}}\approx5{,}93\times10^{-3}\\ \text{m/s}^{2}.
A diferença de aceleração entre meio‑dia e meia‑noite é então aproximadamente
\Delta a\approx 4\varepsilon\,a_{\odot}\approx1{,}0\times10^{-6}\\ \text{m/s}^{2}.
Para uma pessoa de m=70\\ \text{kg}, a diferença de força é
\Delta F = m\,\Delta a \approx 70\times1{,}0\times10^{-6}\\ \text{N}\approx7{,}0\times10^{-5}\\ \text{N},
isto é, extremamente pequena — imperceptível no dia a dia.

Passo 5

Interpretação física e conclusão didática (como usar isso na prova).
  • Física simples: a gravidade decai com o quadrado da distância, então estar mais perto do Sol aumenta a atração.
  • Ao meio‑dia você está, no sentido radial em relação ao Sol, um raio da Terra mais próximo do Sol; à meia‑noite você está um raio da Terra mais distante. Logo a atração é maior ao meio‑dia.
  • Na prova: escreva a lei F=G M_{\odot} m / r^{2}, coloque r=R\mp R_{\oplus} para meio‑dia/meia‑noite, compare e, se quiser, faça a aproximação em série com \varepsilon=R_{\oplus}/R para mostrar que a diferença é da ordem de 4\varepsilon (muito pequena). Esse raciocínio completo é curto, direto e matematicamente justificável.
Força final: maior ao meio‑dia porque a distância ao Sol é ligeiramente menor.

Resposta

Ao meio‑dia.

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