Q12.5) Quando a atração gravitacional entre você e o Sol é maior: ao meio-dia ou à meia-noite? Explique.
Passo 1
O que o problema pede: decidir quando a atração gravitacional entre você e o Sol é maior — ao meio‑dia ou à meia‑noite — e explicar por quê.
Informações relevantes que vamos usar (valores padrão que são razoáveis para este tipo de pergunta):
- Lei da gravitação universal de Newton:
, onde é a força gravitacional entre o Sol (massa ) e uma pessoa (massa ), é a constante gravitacional e é a distância entre a pessoa e o centro do Sol. - Distância média entre o centro da Terra e o centro do Sol:
(1 UA). - Raio da Terra:
.
Observação clara (assunção usada): “meio‑dia” refere‑se ao momento em que a pessoa está no lado da Terra voltado para o Sol (o ponto mais próximo do Sol na superfície); “meia‑noite” refere‑se ao lado oposto (o ponto mais distante do Sol na superfície). Essas posições diferem em distância ao Sol em aproximadamente
.
Passo 2
Escrever as distâncias até o Sol nos dois casos e as forças correspondentes.
- Distância quando você está ao meio‑dia (lado próximo):
. - Distância quando você está à meia‑noite (lado oposto):
.
Usando a lei da gravitação:
Aqui a comparação é direta: a força é maior quando
é menor. Então, a menos que algo exótico aconteça, a força será maior no lado mais próximo do Sol, isto é, ao meio‑dia. Vamos quantificar a diferença para ver quão grande (ou pequena) ela é.
Passo 3
Fazer a comparação algébrica com aproximação para
.
Defina
. Então
Para
pequeno (o que é verdade aqui), use a expansão binomial:
Portanto, ao primeiro ordem em
:
Subtraindo,
Isto mostra quantitativamente que
e que a diferença relativa é da ordem de
.
Passo 4
Calcular valores numéricos aproximados para entender a magnitude da diferença.
Calcule
:
A fração relativa entre as forças (diferença percentual aproximada) é cerca de
:
Para ter uma ideia em aceleração: a aceleração gravitacional do Sol na órbita da Terra é
A diferença de aceleração entre meio‑dia e meia‑noite é então aproximadamente
Para uma pessoa de
, a diferença de força é
isto é, extremamente pequena — imperceptível no dia a dia.
Passo 5
Interpretação física e conclusão didática (como usar isso na prova).
- Física simples: a gravidade decai com o quadrado da distância, então estar mais perto do Sol aumenta a atração.
- Ao meio‑dia você está, no sentido radial em relação ao Sol, um raio da Terra mais próximo do Sol; à meia‑noite você está um raio da Terra mais distante. Logo a atração é maior ao meio‑dia.
- Na prova: escreva a lei
, coloque para meio‑dia/meia‑noite, compare e, se quiser, faça a aproximação em série com para mostrar que a diferença é da ordem de (muito pequena). Esse raciocínio completo é curto, direto e matematicamente justificável.
Força final: maior ao meio‑dia porque a distância ao Sol é ligeiramente menor.
Resposta
Ao meio‑dia.