Q12.2 Se todos os planetas tivessem a mesma densidade média, como a aceleração da gravidade na superfície de um planeta dependeria de seu raio?
Passo 1
O enunciado pede: “Se todos os planetas tivessem a mesma densidade média, como a aceleração da gravidade na superfície de um planeta dependeria de seu raio?”\n
Informações e suposições dadas (ou implícitas) que usaremos:
Informações e suposições dadas (ou implícitas) que usaremos:
- A densidade média de todos os planetas é a mesma; chamo essa densidade de
(constante). - O planeta é modelado como uma esfera de raio
e massa . - A aceleração da gravidade na superfície do planeta é
. - Vou usar a constante gravitacional universal
.\n
O que se pede: obter uma relação matemática entree (mostrando dependência explícita), usando a hipótese constante.
Passo 2
Lembra da lei da gravitação de Newton aplicada à superfície de uma esfera homogênea (ou tratável como massa concentrada no centro): a aceleração gravitacional na superfície vale
Explicando cada símbolo:
-
é a aceleração da gravidade na superfície (unidade: ). -
é a constante gravitacional universal ( ). -
é a massa do planeta (unidade: ). -
é o raio do planeta (unidade: ).\n
Esse é um resultado padrão: a força gravitacional na superfície depende da massa total e decai como.
Passo 3
Agora relaciono a massa
com a densidade média
. A definição de densidade média é massa dividida pelo volume:
Para uma esfera, o volume é
Logo, isolando
,
Aqui:
-
é a densidade média (unidade: ). -
é o volume da esfera de raio .
Passo 4
Substituo
obtido no passo anterior na fórmula de
:
Agora faço a simplificação algébrica: há um
no numerador e um
no denominador, então
. Assim:
Passo 5
Interpretação e conclusão: a expressão obtida é
Isso mostra que, se todos os planetas tiverem a mesma densidade média
, a aceleração da gravidade na superfície cresce linearmente com o raio
:
é proporcional a
. Em notação curta:
Consequências práticas que ajudam a fixar a ideia:
- Se dois planetas têm a mesma densidade e um tem o dobro do raio do outro (
), então . - O fator de proporcionalidade é
; ele depende apenas da densidade comum e das constantes numéricas.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para conferir que a fórmula faz sentido (apenas para fixar): usando a densidade média da Terra
e
,
Multiplicando por
obtemos
, que é o valor conhecido — sinal de que a fórmula está correta e consistente.