Q12.2 Se todos os planetas tivessem a mesma densidade média, como a aceleração da gravidade na superfície de um planeta dependeria de seu raio?

Passo 1

O enunciado pede: “Se todos os planetas tivessem a mesma densidade média, como a aceleração da gravidade na superfície de um planeta dependeria de seu raio?”\n
Informações e suposições dadas (ou implícitas) que usaremos:
  • A densidade média de todos os planetas é a mesma; chamo essa densidade de \rho (constante).
  • O planeta é modelado como uma esfera de raio R e massa M.
  • A aceleração da gravidade na superfície do planeta é g.
  • Vou usar a constante gravitacional universal G.\n
    O que se pede: obter uma relação matemática entre g e R (mostrando dependência explícita), usando a hipótese \rho= constante.

Passo 2

Lembra da lei da gravitação de Newton aplicada à superfície de uma esfera homogênea (ou tratável como massa concentrada no centro): a aceleração gravitacional na superfície vale
g = \frac{G M}{R^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • g é a aceleração da gravidade na superfície (unidade: \mathrm{m/s^{2}}).
  • G é a constante gravitacional universal ( G\approx6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}).
  • M é a massa do planeta (unidade: \mathrm{kg}).
  • R é o raio do planeta (unidade: \mathrm{m}).\n
    Esse é um resultado padrão: a força gravitacional na superfície depende da massa total e decai como 1/R^{2}.

Passo 3

Agora relaciono a massa M com a densidade média \rho. A definição de densidade média é massa dividida pelo volume:
\rho = \frac{M}{V}.
Para uma esfera, o volume é
V = \frac{4}{3}\pi R^{3}.
Logo, isolando M,
M = \rho V = \rho\left(\frac{4}{3}\pi R^{3}\right).
Aqui:
  • \rho é a densidade média (unidade: \mathrm{kg/m^{3}}).
  • \dfrac{4}{3}\pi R^{3} é o volume da esfera de raio R.

Passo 4

Substituo M obtido no passo anterior na fórmula de g:
g = \frac{G}{R^{2}}\cdot M = \frac{G}{R^{2}}\cdot \rho\left(\frac{4}{3}\pi R^{3}\right).
Agora faço a simplificação algébrica: há um R^{3} no numerador e um R^{2} no denominador, então R^{3}/R^{2}=R. Assim:
g = G \rho \left(\frac{4}{3}\pi\right) R.

Passo 5

Interpretação e conclusão: a expressão obtida é
g = \left(\frac{4}{3}\pi G \rho\right) R.
Isso mostra que, se todos os planetas tiverem a mesma densidade média \rho, a aceleração da gravidade na superfície cresce linearmente com o raio R: g é proporcional a R. Em notação curta:
g \propto R.
Consequências práticas que ajudam a fixar a ideia:
  • Se dois planetas têm a mesma densidade e um tem o dobro do raio do outro ( R_2 = 2R_1), então g_2 = 2 g_1.
  • O fator de proporcionalidade é \dfrac{4}{3}\pi G \rho; ele depende apenas da densidade comum \rho e das constantes numéricas.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para conferir que a fórmula faz sentido (apenas para fixar): usando a densidade média da Terra \rho\approx5515\\ \mathrm{kg/m^{3}} e G\approx6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}},
\frac{4}{3}\pi G \rho \approx 1{,}54\times10^{-6}\\ \mathrm{s^{-2}}.
Multiplicando por R_{\oplus}\approx6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m} obtemos g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}, que é o valor conhecido — sinal de que a fórmula está correta e consistente.

Resposta

g = \frac{4}{3}\pi G \rho\,R
\text{(portanto } g \propto R\text{)} ]

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