Q12.4) Exemplo 12.2 (Seção 12.1) mostra que a aceleração de cada esfera produzida pela força gravitacional é inversamente proporcional à massa da respectiva esfera. Então, como você explica que qualquer corpo caindo nas vizinhanças da superfície terrestre possui a mesma aceleração da gravidade?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, apesar de um exemplo (Exemplo 12.2) afirmar que a aceleração produzida por uma força é inversamente proporcional à massa da esfera, na prática qualquer corpo em queda livre perto da superfície da Terra tem a mesma aceleração, chamada de g. Informações relevantes dadas/assumidas:
  • Há uma força gravitacional atuando entre a Terra (massa M) e um corpo qualquer (massa m).
  • No exemplo citado foi observado que, para uma força fixa F, a aceleração resultante é dada por a=F/m (ou seja, inversamente proporcional à massa do corpo).
  • A pergunta pede explicação física e matemática de por que corpos de massas diferentes têm a mesma aceleração gravitacional perto da superfície terrestre (desprezando resistência do ar).

Passo 2

Lembrar duas leis fundamentais e o que cada símbolo significa:
  • Lei da Gravitação Universal de Newton: a força gravitacional entre duas massas \,M (Terra) e \,m (corpo) separadas por distância \,r é
F=\;G\,\frac{M\,m}{r^{2}},
onde \,G é a constante gravitacional ( \,G\approx6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}). Aqui \,F é o módulo da força exercida por cada uma sobre a outra.
  • Segunda lei de Newton (definição de aceleração): para uma massa \,m sujeita à força resultante \,F,
F=m\,a,
onde \,a é a aceleração da massa \,m produzida por essa força.
Expliquei o significado de cada variável para você lembrar facilmente na prova: \,M e \,m são as massas, \,r é a distância entre os centros das massas, \,G é constante universal, \,F é a força e \,a a aceleração.

Passo 3

Calcular a aceleração da massa \,m causada pela atração da Terra combinando as duas leis acima. Igualando as expressões para \,F:
m\,a \;=\; G\,\frac{M\,m}{r^{2}}.
Agora isolar \,a. Note que o fator \,m aparece dos dois lados e pode ser cancelado:
a \;=\; G\,\frac{M}{r^{2}}.
Resultado essencial: a aceleração \,a do corpo não depende de sua massa \,m; depende apenas de \,M, \,r e \,G.
Comentário didático: no exemplo em que se diz “aceleração é inversamente proporcional à massa” estava-se usando a fórmula geral a=F/m para uma força fixa e externa \,F. Mas no caso da gravitação a própria força \,F é proporcional à massa \,m. Ao dividir por \,m (segunda lei), a dependência em \,m se cancela — por isso não aparece em \,a.

Passo 4

Interpretação física — por que isso resolve a aparente contradição:
  • Se uma força fixa e independente da massa atua (por exemplo empurrar diferentes massas com mesma força), então corpos mais leves aceleram mais porque a=F/m. Esse é o caso geral usado para mostrar a\propto 1/m.
  • No campo gravitacional, a força não é fixa: ela vale \,F=G M m/r^{2}, ou seja, é proporcional à massa do corpo. Ao aplicar a=F/m, a massa do corpo cancela, deixando uma aceleração comum a todos.
  • Portanto não há contradição: a regra “ a é inversamente proporcional à massa quando a força é a mesma” continua válida, mas no caso gravitacional a força varia justamente de modo a anular essa dependência.

Passo 5

Sobre o que se mede na prática e a aproximação “perto da superfície terrestre”:
  • Perto da superfície da Terra, r é aproximadamente o raio da Terra R, então
a \approx G\,\frac{M}{R^{2}} \equiv g,
onde \,g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Esse valor é praticamente o mesmo para todos os corpos porque M e R são os mesmos.
  • Efeito da aceleração mútua: a Terra também sofre aceleração em direção ao corpo; suas acelerações relativas são a_{\text{corpo}}=G M/r^{2} e a_{\text{Terra}}=G m/r^{2}. Mas como m\ll M, a aceleração da Terra é desprezível; portanto, medimos essencialmente a_{\text{corpo}}\approx g.
  • Observação prática importante: a igualdade de acelerações só vale quando desprezamos a resistência do ar. Com arrasto, corpos diferentes (forma, área, densidade) caem com acelerações diferentes.

Passo 6

Conexão com princípio de equivalência (breve e útil para prova):
  • A razão pela qual a massa que aparece na força gravitacional (massa gravitacional) é numericamente igual à massa que aparece na segunda lei (`massa inercial`) é uma propriedade empírica fundamental e é a base do princípio de equivalência de Galileo/Einstein. É essa igualdade que garante a independência da massa na aceleração gravitacional observada.

Resposta

Porque a força gravitacional é proporcional à massa do corpo ( F=G\,M\,m/r^{2}); ao aplicar a segunda lei ( F=m\,a) a massa do corpo cancela, ficando a=G\,M/r^{2}, que é a mesma para todos os corpos (desprezando resistência do ar e a pequena aceleração da Terra).

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