Q12.4) Exemplo 12.2 (Seção 12.1) mostra que a aceleração de cada esfera produzida pela força gravitacional é inversamente proporcional à massa da respectiva esfera. Então, como você explica que qualquer corpo caindo nas vizinhanças da superfície terrestre possui a mesma aceleração da gravidade?
Passo 1
O enunciado pergunta por que, apesar de um exemplo (Exemplo 12.2) afirmar que a aceleração produzida por uma força é inversamente proporcional à massa da esfera, na prática qualquer corpo em queda livre perto da superfície da Terra tem a mesma aceleração, chamada de
. Informações relevantes dadas/assumidas:
- Há uma força gravitacional atuando entre a Terra (massa
) e um corpo qualquer (massa ). - No exemplo citado foi observado que, para uma força fixa
, a aceleração resultante é dada por (ou seja, inversamente proporcional à massa do corpo). - A pergunta pede explicação física e matemática de por que corpos de massas diferentes têm a mesma aceleração gravitacional perto da superfície terrestre (desprezando resistência do ar).
Passo 2
Lembrar duas leis fundamentais e o que cada símbolo significa:
- Lei da Gravitação Universal de Newton: a força gravitacional entre duas massas
(Terra) e (corpo) separadas por distância é
onde
é a constante gravitacional (
). Aqui
é o módulo da força exercida por cada uma sobre a outra.
- Segunda lei de Newton (definição de aceleração): para uma massa
sujeita à força resultante ,
onde
é a aceleração da massa
produzida por essa força.
Expliquei o significado de cada variável para você lembrar facilmente na prova:
e
são as massas,
é a distância entre os centros das massas,
é constante universal,
é a força e
a aceleração.
Passo 3
Calcular a aceleração da massa
causada pela atração da Terra combinando as duas leis acima. Igualando as expressões para
:
Agora isolar
. Note que o fator
aparece dos dois lados e pode ser cancelado:
Resultado essencial: a aceleração
do corpo não depende de sua massa
; depende apenas de
,
e
.
Comentário didático: no exemplo em que se diz “aceleração é inversamente proporcional à massa” estava-se usando a fórmula geral
para uma força fixa e externa
. Mas no caso da gravitação a própria força
é proporcional à massa
. Ao dividir por
(segunda lei), a dependência em
se cancela — por isso não aparece em
.
Passo 4
Interpretação física — por que isso resolve a aparente contradição:
- Se uma força fixa e independente da massa atua (por exemplo empurrar diferentes massas com mesma força), então corpos mais leves aceleram mais porque
. Esse é o caso geral usado para mostrar . - No campo gravitacional, a força não é fixa: ela vale
, ou seja, é proporcional à massa do corpo. Ao aplicar , a massa do corpo cancela, deixando uma aceleração comum a todos. - Portanto não há contradição: a regra “
é inversamente proporcional à massa quando a força é a mesma” continua válida, mas no caso gravitacional a força varia justamente de modo a anular essa dependência.
Passo 5
Sobre o que se mede na prática e a aproximação “perto da superfície terrestre”:
- Perto da superfície da Terra,
é aproximadamente o raio da Terra , então
onde
. Esse valor é praticamente o mesmo para todos os corpos porque
e
são os mesmos.
- Efeito da aceleração mútua: a Terra também sofre aceleração em direção ao corpo; suas acelerações relativas são
e . Mas como , a aceleração da Terra é desprezível; portanto, medimos essencialmente . - Observação prática importante: a igualdade de acelerações só vale quando desprezamos a resistência do ar. Com arrasto, corpos diferentes (forma, área, densidade) caem com acelerações diferentes.
Passo 6
Conexão com princípio de equivalência (breve e útil para prova):
- A razão pela qual a massa que aparece na força gravitacional (massa gravitacional) é numericamente igual à massa que aparece na segunda lei (`massa inercial`) é uma propriedade empírica fundamental e é a base do princípio de equivalência de Galileo/Einstein. É essa igualdade que garante a independência da massa na aceleração gravitacional observada.
Resposta
Porque a força gravitacional é proporcional à massa do corpo (
); ao aplicar a segunda lei (
) a massa do corpo cancela, ficando
, que é a mesma para todos os corpos (desprezando resistência do ar e a pequena aceleração da Terra).