Resolver os seguintes sistemas de equações lineares:
\left\{\begin{aligned} \frac{1}{2} x+y & =1 \\\ x+2 y & =3 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear, ou seja, encontrar os números x\) e \(y\) que satisfazem simultaneamente as duas equações. As informações fornecidas são: \[\begin{cases} \frac{1}{2}x + y = 1,\\[4pt] x + 2y = 3. \end{cases}
Variáveis desconhecidas: x\] e \(y. Deve-se determinar o par (x,y) que torna verdadeiras as duas igualdades ao mesmo tempo.]

Passo 2

Vou usar o método da eliminação (também chamado método de combinação de equações). Ideia do método: transformar as equações de modo que, ao somá-las ou subtraí-las, uma das incógnitas seja eliminada, ficando uma equação só numa incógnita (ou, como neste caso, detectar uma contradição). Regras importantes:
  • Multiplicar uma equação por um número não nulo preserva a solução (porque multiplica ambos os lados da igualdade).
  • Se duas equações resultantes tiverem o mesmo membro à esquerda e membros à direita diferentes, isso é uma contradição e significa que não existe par (x,y) que satisfaça ambas.

Passo 3

Multiplico a primeira equação por 2 para eliminar o coeficiente fracionário e compará-la com a segunda:
2\cdot\left(\frac{1}{2}x + y\right) = 2\cdot 1.
Fazendo a multiplicação termo a termo:
x + 2y = 2.
Note que essa igualdade foi obtida a partir da primeira por uma operação válida (multiplicar ambos os lados por 2).

Passo 4

Agora compare a equação obtida com a segunda equação original. Temos:
x + 2y = 2 \qquad\text{e}\qquad x + 2y = 3.
Se subtrair uma da outra (ou simplesmente observar), obtemos:
(x+2y)-(x+2y)=2-3 \quad\Rightarrow\quad 0 = -1.
Ou, se preferir subtrair na ordem oposta:
(x+2y)-(x+2y)=3-2 \quad\Rightarrow\quad 0 = 1.
Em qualquer caso surge uma contradição do tipo 0=1 (ou 0=-1), que é impossível. Isso significa que as duas retas representadas por essas equações têm a mesma expressão à esquerda (mesmos coeficientes de x e y) mas constantes diferentes à direita, logo são retas paralelas distintas — não se intersectam.

Passo 5

Conclusão lógica: não existe par (x,y) que satisfaça simultaneamente as duas equações. Em termos de sistemas lineares, diz-se que o sistema é incompatível ou sem solução.

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).

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