1. (Q12-ITA/1988) Seja f(x)=\log _{2}\left(x^{2}-1\right), \forall x \in \mathbb{R}, x<-1. A lei que define a inversa de f é:
    a) \sqrt{1+2^{y}}, \forall y \in \mathbb{R}.
    b) -\sqrt{1+2^{y}}, \forall y \in \mathbb{R}.
    c) 1-\sqrt{1+2^{y}}, \forall y \in \mathbb{R}.
    d) -\sqrt{1-2^{y}}, \forall y \in \mathbb{R}, y \leq 0.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\log_{2}\!\left(x^{2}-1\right),\qquad \forall x\in\mathbb{R},\\ x<-1.
O que o problema pede: determinar a lei (fórmula) da inversa de f e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição explícita de f é \;f(x)=\log_{2}\!\left(x^{2}-1\right).
  • O domínio de f foi restringido para x<-1 (ou seja, só consideramos valores negativos menores que -1).
  • As alternativas do problema apresentam possíveis fórmulas para f^{-1}.

Passo 2

Lembrete prático sobre logaritmo e inversão (para aplicar já de forma didática):
  • A definição de logaritmo: \;y=\log_{2}(A) é equivalente à forma exponencial \;2^{y}=A, desde que A>0.
  • Para inverter uma função dada por uma equação y=\text{(expressão em }x)ã, trocam-se os papéis e resolve-se para x em função de y: ou seja, escrever y=\log_{2}\!\left(x^{2}-1\right) e então isolar x em termos de y.
  • Ao resolver uma equação do tipo x^{2}=B obtém-se duas soluções x=\pm\sqrt{B}; a escolha do sinal depende do domínio original da função (a inversa deve fornecer apenas os x que estavam no domínio de f).

Passo 3

Aplicando a definição do logaritmo: comece escrevendo
y=\log_{2}\!\left(x^{2}-1\right).
Passando para a forma exponencial usando a propriedade do logaritmo:
2^{y}=x^{2}-1.

Passo 4

Isolando x^{2} e depois x:
x^{2}=1+2^{y},
portanto
x=\pm\sqrt{\,1+2^{y}\,}.
Aqui \sqrt{\cdot} denota a raiz quadrada principal (sempre não negativa), então as duas raízes possíveis são x=+\sqrt{1+2^{y}} e x=-\sqrt{1+2^{y}}.

Passo 5

Agora use a restrição do domínio original x<-1 para escolher qual ramo da raiz corresponde à inversa. Observações úteis:
  • Para todo y\in\mathbb{R} tem-se 2^{y}>0, logo 1+2^{y}>1 e, portanto, \sqrt{1+2^{y}}>1.
  • Assim +\sqrt{1+2^{y}}>1 (positivo maior que 1), enquanto -\sqrt{1+2^{y}}<-1 (negativo menor que -1).
    Como o domínio original exige x<-1, a única solução compatível é
x=-\sqrt{\,1+2^{y}\,}.

Passo 6

Verificação da existência da inversa em todo \mathbb{R} (domínio da inversa): a imagem (contradomínio efetivo) de f com x<-1 é todo \mathbb{R}. Rápida justificativa: quando x\to-1^{-} tem x^{2}-1\to 0^{+} e \log_{2}(x^{2}-1)\to -\infty; quando x\to -\infty tem x^{2}-1\to+\infty e \log_{2}(x^{2}-1)\to+\infty. Como f é contínua e estritamente monotônica em (-\infty,-1) (derivada negativa ali), sua imagem é \mathbb{R}. Portanto a fórmula encontrada vale para todo y\in\mathbb{R}.

Passo 7

Conclusão final: a inversa de f, escrita como função de y, é
f^{-1}(y)=-\sqrt{\,1+2^{y}\,},\qquad \forall y\in\mathbb{R}.
Essa expressão corresponde exatamente à alternativa (b).

Resposta

b) -\sqrt{1+2^{y}}, \forall y \in \mathbb{R}.

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