- (Q12-ITA/1988) Seja
,
. A lei que define a inversa de
é:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que o problema pede: determinar a lei (fórmula) da inversa de
e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Informações relevantes fornecidas:
- A definição explícita de
é . - O domínio de
foi restringido para (ou seja, só consideramos valores negativos menores que ). - As alternativas do problema apresentam possíveis fórmulas para
.
Passo 2
Lembrete prático sobre logaritmo e inversão (para aplicar já de forma didática):
- A definição de logaritmo:
é equivalente à forma exponencial , desde que . - Para inverter uma função dada por uma equação
, trocam-se os papéis e resolve-se para em função de : ou seja, escrever e então isolar em termos de . - Ao resolver uma equação do tipo
obtém-se duas soluções ; a escolha do sinal depende do domínio original da função (a inversa deve fornecer apenas os que estavam no domínio de ).
Passo 3
Aplicando a definição do logaritmo: comece escrevendo
Passando para a forma exponencial usando a propriedade do logaritmo:
Passo 4
Isolando
e depois
:
portanto
Aqui
denota a raiz quadrada principal (sempre não negativa), então as duas raízes possíveis são
e
.
Passo 5
Agora use a restrição do domínio original
para escolher qual ramo da raiz corresponde à inversa. Observações úteis:
- Para todo
tem-se , logo e, portanto, . - Assim
(positivo maior que ), enquanto (negativo menor que ).
Como o domínio original exige, a única solução compatível é
Passo 6
Verificação da existência da inversa em todo
(domínio da inversa): a imagem (contradomínio efetivo) de
com
é todo
. Rápida justificativa: quando
tem
e
; quando
tem
e
. Como
é contínua e estritamente monotônica em
(derivada negativa ali), sua imagem é
. Portanto a fórmula encontrada vale para todo
.
Passo 7
Conclusão final: a inversa de
, escrita como função de
, é
Essa expressão corresponde exatamente à alternativa (b).
Resposta
b)